Punktsymmetrie einer Funktion < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion f: x -->3x³ + p*x² + 3x; x [mm] \in\IR
[/mm]
a) Setzen Sie in den Funktionsterm p = -10 ein und bestimmen Sie dann alle Nullstellen der Funktion f.
b) Für welchen Wert von p hat f eine Nullstelle bei x = -3?
c) Für welchen Wert von p ist der Graph von f punktsymmetrisch bezüglich des Ursprungs des Koordinatensystems? Begründen Sie Ihre Antwort. |
Komme bei der Teilaufgabe b nicht weiter. Kann mir jemand helfen, da ich total auf dem Schlauch stehe.
Meine Überlegung:
Ein x ausklammern = f = x(3x² + px + 3)
0 = 3 (-3)² + p*(-3)+3
Und nun habe ich den totalen Blackout und weiß nicht wie ich nach p auflöse.
Stimmt der Lösungsansatz überhaupt und kann mir jemand weiterhelfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:37 Mo 28.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gegeben sei die Funktion f: x -->3x³ + p*x² + 3x; x [mm]\in\IR[/mm]
> a) Setzen Sie in den Funktionsterm p = -10 ein und
> bestimmen Sie dann alle Nullstellen der Funktion f.
> b) Für welchen Wert von p hat f eine Nullstelle bei x =
> -3?
> c) Für welchen Wert von p ist der Graph von f
> punktsymmetrisch bezüglich des Ursprungs des
> Koordinatensystems? Begründen Sie Ihre Antwort.
> Komme bei der Teilaufgabe b nicht weiter. Kann mir jemand
> helfen, da ich total auf dem Schlauch stehe.
> Meine Überlegung:
> Ein x ausklammern = f = x(3x² + px + 3)
> 0 = 3 (-3)² + p*(-3)+3
zu 1:
Du suchst die Stellen, an denen f(x)=0 gilt:
Also: 0=3x³+px²+3x
[mm] \gdw0=x(3x²+px+3)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x=0 oder (3x²+px+3)=0
[mm] \gdw x_{1}=0 [/mm] oder [mm] x_{2;3}=-\bruch{p}{6}\pm\wurzel{\bruch{p²}{36}-1}
[/mm]
Zu 2: Hier sollst du das p bestimmen, für das [mm] x_{2} [/mm] oder [mm] x_{3} [/mm] aus Aufgabe 1 den Wert -3 annimmt.
Also:
[mm] 3=-\bruch{p}{6}+\wurzel{\bruch{p²}{36}-1}
[/mm]
und/oder [mm] -3=-\bruch{p}{6}-\wurzel{\bruch{p²}{36}-1}
[/mm]
Zu 3.
Punktsymmetrisch zum Ursprung heisst f(-x)=-f(x)
Damit suchst du das p, für das gilt:
[mm] \overbrace{-3x³+px²-3x}^{f(-x)}=\overbrace{-(3x³+px²+3x)}^{-f(x)}
[/mm]
[mm] \gdw-3x³+px²-3x=-3x³-px²-3x
[/mm]
[mm] \gdw... [/mm]
(Die Lösungsvariable ist hier p)
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:15 Mo 28.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Pegasus!
Du hast hier falsch eingesetzt in die Funktionsgleichung. Es muss ja heißen:
[mm] $$f_p(\red{-3}) [/mm] \ = \ [mm] 3*(\red{-3})^3+p*(\red{-3})^2+3*(\red{-3}) [/mm] \ = \ -81+9*p-9 \ = \ 9*p-90 \ = \ 0$$
Und diese Gleichung wirst Du doch nach $p \ = \ ...$ auflösen können, oder? 
Gruß
Loddar
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