Punktsymmetrie von f < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist f mit [mm] f(x)=(x-1)^3+1
[/mm]
Beweise, dass f punktsymmetrisch zu P(1|1) ist. P liegt auf dem Graphen. |
Für die Punktsymmetrie von f gilt ja:
f ist punktsymmetrisch zu P(a|b) wenn für alle x gilt: f(a+x)-b = -f(a-x)+b
Durch Substitution von x=(x-a) erhält man die Gleichung, für die dasselbe gilt: f(x)=2b-f(2a-x)
In unserem Fall ist a=1 und b=1. Für [mm] f(x)=(x-1)^3+1 [/mm] setze ich die Werte nun in die Lösungsformel ein:
2b-f(2a-x)=2*1-f(2-x)
[mm] =2-((2-1-x)^3+1)
[/mm]
[mm] =2-((1-x)^3+1)
[/mm]
[mm] =2-(1-3x+3x^2-x^3-1)
[/mm]
[mm] =x^3-3x^2+3x [/mm] Jetzt kann man diesen Term mit der Polynomdivision in Faktoren aufteilen. Zuvor muss man ihn aber mit (-1+1) erweitern (ähnlich wie bei der quadratischen Ergänzung)
[mm] =(x^3-3x^2+3x-1)+1 [/mm] Den Term in der Klammer teile ich durch (x-1):
[mm] (x^3-3x^2+3x-1):(x-1)=x^2-2x+1
[/mm]
[mm] -(x^3-x^2)
[/mm]
_________
0 [mm] -2x^2+3x
[/mm]
[mm] -(-2x^2+2x)
[/mm]
___________
0 + x-1
-(x-1)
___________
0 (d.h. ohne Rest)
Beim Betrachten des übrig gebliebenen Terms [mm] x^2-2x+1 [/mm] erkennt man schnell, dass er gleich [mm] (x-1)^2 [/mm] ist.
d.h. nach der Polynomdivision haben wir folgenden Term:
(x-1)(x-1)(x-1)+1
[mm] =(x-1)^3+1 [/mm] = f(x)
Damit ist die Punktsymmetrie von f bewiesen !
Kann man den Nachweis nicht kürzer führen ? Und wann benutzt man lieber die 1.Lösungsformel ?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum gestellt.
Schorsch
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:23 Do 19.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Das geht in der Tat viel einfacher !
Du mußt nachweisen:
$ f(1+x) -1$ = $-f(1-x) +1 $ für jedes x [mm] \in \IR,
[/mm]
oder, was dasselbe ist:
$ f(1+x)+f(1-x)$ = $2 $ für jedes x [mm] \in \IR.
[/mm]
Es ist, wie man leicht sieht: $f(1+x) = [mm] x^3+1$ [/mm] und $f(1-x) = [mm] -x^3+1$
[/mm]
FRED
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Danke für die prompte Antwort. Das ging ja wirklich schneller mit der 1.Lösungsformel...
Ich muss also das x in f durch (1+x) ersetzen, potenzieren und darf anschließend +1 nicht vergessen.
[mm] x^3+1=x^3+1 [/mm] dürfte ja dann für alle x gelten.
Gibt es denn auch Funktionen, bei denen man besser die 2.Formel nimmt ?
Schorsch
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 Do 19.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Schorsch!
Ich denke mal, dass dies "Jacke wie Hose" ist. Ich kenne allerdings auch nur die 1. Darstellung.
Gruß
Loddar
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