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Punktweise, Gleichmäßige Konv.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:06 Di 12.04.2011
Autor: monstre123

Aufgabe
http://img25.imageshack.us/f/uebung011.jpg/

sorry, hätte hier getippt, ist aber ne skizze dabei.

Hallo,

zur Aufgabe:

          [mm] 2n^{3}x [/mm]       für [mm] x\in[0, \bruch{1}{2n}[ [/mm]
i) [mm] f_{n}(x)= -2n^{3}x+2n^{2} [/mm]   für [mm] x\in[\bruch{1}{2n}, \bruch{1}{n}[ [/mm]
          0             sonst


ii) Bei dieser Aufgabe bin ich mir unsicher. Muss ich hier f(x) für drei Bereiche bilden sprich:

[mm] f_{1}(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}2n^{3}x [/mm]

[mm] f_{2}(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}-2n^{3}x+2n^{2} [/mm]

[mm] f_{3}(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}0 [/mm]

Muss ich das berechnen? Aber eigentlich ist ja das [mm] f_{n}(x) [/mm] die drei Bereiche zusammen. Kann man das so machen?


Danke vorab.

        
Bezug
Punktweise, Gleichmäßige Konv.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:24 Di 12.04.2011
Autor: fred97


> http://img25.imageshack.us/f/uebung011.jpg/
>
> sorry, hätte hier getippt, ist aber ne skizze dabei.
>  Hallo,
>  
> zur Aufgabe:
>  
> [mm]2n^{3}x[/mm]       für [mm]x\in[0, \bruch{1}{2n}[[/mm]
>  i) [mm]f_{n}(x)= -2n^{3}x+2n^{2}[/mm]
>   für [mm]x\in[\bruch{1}{2n}, \bruch{1}{n}[[/mm]
>            0      
>       sonst
>  
>
> ii) Bei dieser Aufgabe bin ich mir unsicher. Muss ich hier
> f(x) für drei Bereiche bilden sprich:
>  
> [mm]f_{1}(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}2n^{3}x[/mm]
>  
> [mm]f_{2}(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}-2n^{3}x+2n^{2}[/mm]
>  
> [mm]f_{3}(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}0[/mm]


Das ist alles Unsinn !

Klar dürfte sein [mm] f_n(0) [/mm] = 0 [mm] \to [/mm] 0

Nun sei x [mm] \in [/mm] (0,1]. Dann gibt es ein m [mm] \in \IN [/mm] mit: 1/m<x , also auch 1/n <x für n [mm] \ge [/mm] m. Damit ist

             [mm] f_n(x) [/mm] =0 für n [mm] \ge [/mm] m

Fazit: [mm] (f_n) [/mm] konv. punktweise auf [0,1] gegen die Nullfunktion

FRED

>  
> Muss ich das berechnen? Aber eigentlich ist ja das [mm]f_{n}(x)[/mm]
> die drei Bereiche zusammen. Kann man das so machen?
>  
>
> Danke vorab.


Bezug
                
Bezug
Punktweise, Gleichmäßige Konv.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:34 Di 12.04.2011
Autor: monstre123


> > http://img25.imageshack.us/f/uebung011.jpg/
> >
> > sorry, hätte hier getippt, ist aber ne skizze dabei.
>  >  Hallo,
>  >  
> > zur Aufgabe:
>  >  
> > [mm]2n^{3}x[/mm]       für [mm]x\in[0, \bruch{1}{2n}[[/mm]
>  >  i)
> [mm]f_{n}(x)= -2n^{3}x+2n^{2}[/mm]
> >   für [mm]x\in[\bruch{1}{2n}, \bruch{1}{n}[[/mm]

>  >            0  
>      
> >       sonst

>  >  
> >
> > ii) Bei dieser Aufgabe bin ich mir unsicher. Muss ich hier
> > f(x) für drei Bereiche bilden sprich:
>  >  
> >
> [mm]f_{1}(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}2n^{3}x[/mm]
>  >  
> >
> [mm]f_{2}(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}-2n^{3}x+2n^{2}[/mm]
>  >  
> >
> [mm]f_{3}(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}0[/mm]
>  
>
> Das ist alles Unsinn !
>  
> Klar dürfte sein [mm]f_n(0)[/mm] = 0 [mm]\to[/mm] 0

Wieso? [mm] f_{n}(x)= -2n^{3}x+2n^{2} [/mm] ist im [mm] x\in[\bruch{1}{2n}, \bruch{1}{n}[ [/mm]
[mm] f_{n}(0)=2n^{2} [/mm]

>  
> Nun sei x [mm]\in[/mm] (0,1]. Dann gibt es ein m [mm]\in \IN[/mm] mit: 1/m<x
> , also auch 1/n <x für n [mm]\ge[/mm] m. Damit ist
>
> [mm]f_n(x)[/mm] =0 für n [mm]\ge[/mm] m
>  
> Fazit: [mm](f_n)[/mm] konv. punktweise auf [0,1] gegen die
> Nullfunktion
>  
> FRED
>  >  
> > Muss ich das berechnen? Aber eigentlich ist ja das [mm]f_{n}(x)[/mm]
> > die drei Bereiche zusammen. Kann man das so machen?
>  >  
> >
> > Danke vorab.
>  


Bezug
                        
Bezug
Punktweise, Gleichmäßige Konv.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:57 Di 12.04.2011
Autor: fred97


> > > http://img25.imageshack.us/f/uebung011.jpg/
> > >
> > > sorry, hätte hier getippt, ist aber ne skizze dabei.
>  >  >  Hallo,
>  >  >  
> > > zur Aufgabe:
>  >  >  
> > > [mm]2n^{3}x[/mm]       für [mm]x\in[0, \bruch{1}{2n}[[/mm]
>  >  >  i)
> > [mm]f_{n}(x)= -2n^{3}x+2n^{2}[/mm]
> > >   für [mm]x\in[\bruch{1}{2n}, \bruch{1}{n}[[/mm]

>  >  >          
>   0  
> >      

> > >       sonst

>  >  >  
> > >
> > > ii) Bei dieser Aufgabe bin ich mir unsicher. Muss ich hier
> > > f(x) für drei Bereiche bilden sprich:
>  >  >  
> > >
> >
> [mm]f_{1}(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}2n^{3}x[/mm]
>  >  >  
> > >
> >
> [mm]f_{2}(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}-2n^{3}x+2n^{2}[/mm]
>  >  >  
> > >
> >
> [mm]f_{3}(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}0[/mm]
>  >  
> >
> > Das ist alles Unsinn !
>  >  
> > Klar dürfte sein [mm]f_n(0)[/mm] = 0 [mm]\to[/mm] 0
>  
> Wieso? [mm]f_{n}(x)= -2n^{3}x+2n^{2}[/mm] ist im
> [mm]x\in[\bruch{1}{2n}, \bruch{1}{n}[[/mm]
> [mm]f_{n}(0)=2n^{2}[/mm]

Quatsch. Es ist doch $ [mm] f_n(x) [/mm] =2n^3x$   für für $ [mm] x\in[0, \bruch{1}{2n}[ [/mm] $. Das hast Du oben doch selbst geschrieben. Damit ist [mm] f_n(0)=0 [/mm]


FRED

>
> >  

> > Nun sei x [mm]\in[/mm] (0,1]. Dann gibt es ein m [mm]\in \IN[/mm] mit: 1/m<x
> > , also auch 1/n <x für n [mm]\ge[/mm] m. Damit ist
> >
> > [mm]f_n(x)[/mm] =0 für n [mm]\ge[/mm] m
>  >  
> > Fazit: [mm](f_n)[/mm] konv. punktweise auf [0,1] gegen die
> > Nullfunktion
>  >  
> > FRED
>  >  >  
> > > Muss ich das berechnen? Aber eigentlich ist ja das [mm]f_{n}(x)[/mm]
> > > die drei Bereiche zusammen. Kann man das so machen?
>  >  >  
> > >
> > > Danke vorab.
> >  

>  


Bezug
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