Punktweise Konvergenz < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:28 Do 07.02.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo alle zusammen!
Ich habe mich in einer Übungsaufgabe mit dem Thema gleichmäßige und punktweise Konvergenz beschäftigt.
Mitunter war die folgende Funktionenfolge gegeben:
[mm] f_n (x) = n \cdot \max \{0, 1- n^2 x^2 \} [/mm].
Jetzt sollten wir das Integral über die Funktionenfolge berechnen, in den Grenzen 0 bis 1 und einmal den Limes davor schalten und einmal über den Limes integrieren.
So es kam heruas, dass in diesen beiden Fällen nicht das gleiche Ergebnis herauskommt und deswegen kann man schließen, dass es sich hier um die punktweise Konvergenz handelt!
Das leuchtet mir alles eine.
Jedoch versteh ich eine Sache nicht 100%ig:
In der Übung steht:
[mm] \lim_{n \to \infty } ( f_n(x) ) = 0 [/mm] also die Nullfunktion, also punktweise Konvergenz!
Das ist mir nicht ganz klar :-(.
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:55 Do 07.02.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
[mm] f_n (x)=n*\max \{0, 1- n^2x^2 \}=\max \{0, n*(1- n^2x^2) \}=\begin{cases} n*(1- n^2x^2), & \mbox{für } n^2x^2<1 \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases} [/mm] , da n>0
Wenn man nun ein [mm] x=x_0 [/mm] fixiert, dann folgt:
[mm] \lim_{n\to\infty}(f_n(x_0))=\lim_{n\to\infty}(\max \{0, n*(1- n^2x_0^2)\})=0 [/mm] , da [mm] \forall x_0 \exists n_0\in\IN [/mm] mit [mm] n_0^2*x_0^2>1.
[/mm]
D.h. ab einen bestimmten [mm] n_0 [/mm] ist der Wert von [mm] f_n(x_0)=0.
[/mm]
Es konvergieren also alle Punkte gegen 0.
Ciao.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:05 Do 07.02.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
Ja , logisch!
Danke vielmals!
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