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Hallo,
folgende Aufgabe:
Untersuchen Sie [mm] f_n [/mm] : I [mm] \to \IR [/mm] für n [mm] \to \infty [/mm] auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz:
[mm] f_n(x) [/mm] = [mm] \frac{x}{1+n^2x^2}, [/mm] I = [mm] \IR
[/mm]
Habe mir [mm] f_n(x) [/mm] mal für n = 1, ..., 9 zeichnen lassen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wunderbar. Für größer werdende n nähert sich der Graph immer mehr der Funktion f(x) = 0 an. Das ist jedenfalls meine Annahme.
Nun möchte ich erstmal die punktweise Konvergenz nachweisen. Dazu steht in meinem Skript:
[mm] f_n [/mm] konvergiert punktweise gegen f [mm] \gdw f_n(x) \to [/mm] f(x) (n [mm] \to \infty)
[/mm]
Okay. Mein [mm] f_n [/mm] habe ich ja. f(x) habe ich "erraten" mit f(x) = 0.
Nun ist also zu testen, ob [mm] f_n(x) [/mm] gegen "mein" f(x) = 0 konvergiert. Richtig?
Also:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_n(x) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \frac{x}{1+n^2x^2}
[/mm]
Nun teile ich einfach durch [mm] x^2 [/mm] und erhalte:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \frac{\frac{x}{x^2}}{\frac{1}{x^2}+\frac{n^2x^2}{x^2}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^2}+n^2}
[/mm]
Nun sieht man, dass dies für jedes x für n [mm] \to \infty [/mm] gegen 0 geht. Daher ist [mm] f_n(x) [/mm] = f(x) für n [mm] \to \infty [/mm] - was bedeutet, dass [mm] f_n [/mm] punktweise konvergiert.
Ist das alles so richtig? Wie würde ich jetzt die gleichmäßige Konvergenz zeigen?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:14 Mi 23.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. bevor du durch x teilst, musst du x=0 gesondert behandeln! sonst hast du da für x gegen 0 [mm] \infty [/mm] durch [mm] \infty [/mm] stehen!
2. zur glm. Konv. Du musst ein von x unabhängiges N finden, so dass für alle n>N [mm] |f_n(x)|<\epsilon [/mm] für jedes [mm] \epsilon>0
[/mm]
Denk dran, du brauchst kein besonders kleines oder genaues N.
Gruss leduart
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1. also stimmen meine Ausführungen bis auf die gesonderte Behandlung bei x = 0?
2. Okay - danke. werde ich mal probieren.
3. Kann man konkret dieser Funktionenfolge am Graphen schon sehen, ob sie gleichmäsig konvergiert? Falls ja - wie? Kann man dies bei beliebigen Funktionenfolgen auch anhand des Graphen ablesen? Falls ja - wie?
Sorry für diese grundlegenden Fragen. Allerdings habe ich nur wenige Beispiele zur Hand, die mir aber alle nicht wirklich geholfen haben.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:39 Mi 23.04.2008 | | Autor: | Merle23 |
> 1. also stimmen meine Ausführungen bis auf die gesonderte
> Behandlung bei x = 0?
>
Ja, nur ich verstehe nicht wieso du durch [mm] x^2 [/mm] teilst. [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \frac{x}{1+n^2x^2}=0 [/mm] ist doch sofort offensichtlich (das x ist ja fest) - da brauchste nix teilen und dadurch brauchste auch keine gesonderte Behandlung von x=0.
> 2. Okay - danke. werde ich mal probieren.
>
Die Suche nach passenden N's ist meist schwer. Hier geht es noch - bestimm' einfach die Maxima/Minima der [mm] f_n [/mm] und dann ist es ersichtlich.
> 3. Kann man konkret dieser Funktionenfolge am Graphen schon
> sehen, ob sie gleichmäsig konvergiert? Falls ja - wie? Kann
> man dies bei beliebigen Funktionenfolgen auch anhand des
> Graphen ablesen? Falls ja - wie?
>
Also ich habe es gesehen - ob das andere auch so leicht sehen weiss ich nicht.
Die Idee mit dem [mm] \epsilon-Schlauch [/mm] um die Grenzfunktion ist da recht hilfreich. Man sieht ja, dass die Funktionen mit höher werdendem n immer flacher werden, also das die Maxima immer kleiner werden.
Ein weiterer Ansatz ist die Stetigkeit. Wenn alle Funktionenfolgenglieder stetig sein, aber deine Grenzfunktion nicht, dann kann die Folge nicht gleichmäßig konvergieren, denn dann wäre ja die Grenzfunktion ebenfalls stetig.
> Sorry für diese grundlegenden Fragen. Allerdings habe ich
> nur wenige Beispiele zur Hand, die mir aber alle nicht
> wirklich geholfen haben.
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Hallo,
danke für deine Ausführungen. So langsam blicke ich da durch. Denke ich mal. :)
[mm] f_n'(x) [/mm] = [mm] \frac{-(-1+n^2x^2)}{(1+n^2 x^2)^2} [/mm] = 0 für alle x [mm] \in \{e_1 := \frac{-1}{n}, e_2 := \frac{1}{n}\}
[/mm]
Jetzt sehe ich, dass [mm] e_1 [/mm] und [mm] e_2 [/mm] für n [mm] \to \infty [/mm] gegen 0 gehen. Also Maxima/Minimal immer kleiner werden.
So - jetzt soll ich auch gleichmäßige Konvergenz schließen können? Das habe ich im Tutorium schon mal gesehen. Aber ich finde in meinen Unterlagen den Satz dazu nicht.
Ist es vielleicht das folgende:
Das Maximum/Minimum einer Funktion beschreibt den maximalen Wert, den eine Funktion annehmen kann. Nähert sich der maxi/minimale Wert nun meiner Grenzfunktion in der Art an, dass dieser gegen 0 geht bedeutet dies ja, dass meine Grenzfunktion meine [mm] f_n [/mm] echt gut approximiert.
Dann gibt es ja da einen tollen Satz:
[mm] f_n [/mm] gleichmäßig konvergent [mm] \gdw
[/mm]
sup [mm] |f_n(x) [/mm] - f(x)| [mm] \to [/mm] 0 für alle x aus dem Definitionsbereich und für n [mm] \to [/mm] infty.
Dadurch, dass [mm] f_n [/mm] ein Maximum hat ist [mm] f_n [/mm] beschränkt. Da auch der größte wert für n [mm] \to [/mm] infty gegen 0 geht und mein f(x) ja gerade 0 ist wird der Abstand zwischen [mm] f_n(x) [/mm] und f(x) 0.
Das sup stört mich ein wenig...
Hmmm - aber so ganz passt das doch nicht...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:36 Mi 23.04.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Hallo,
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> danke für deine Ausführungen. So langsam blicke ich da
> durch. Denke ich mal. :)
>
> [mm]f_n'(x)[/mm] = [mm]\frac{-(-1+n^2x^2)}{(1+n^2 x^2)^2}[/mm] = 0 für alle x
> [mm]\in \{e_1 := \frac{-1}{n}, e_2 := \frac{1}{n}\}[/mm]
>
> Jetzt sehe ich, dass [mm]e_1[/mm] und [mm]e_2[/mm] für n [mm]\to \infty[/mm] gegen 0
> gehen. Also Maxima/Minimal immer kleiner werden.
>
> So - jetzt soll ich auch gleichmäßige Konvergenz schließen
> können? Das habe ich im Tutorium schon mal gesehen. Aber
> ich finde in meinen Unterlagen den Satz dazu nicht.
>
> Ist es vielleicht das folgende:
>
> Das Maximum/Minimum einer Funktion beschreibt den maximalen
> Wert, den eine Funktion annehmen kann. Nähert sich der
> maxi/minimale Wert nun meiner Grenzfunktion in der Art an,
> dass dieser gegen 0 geht bedeutet dies ja, dass meine
> Grenzfunktion meine [mm]f_n[/mm] echt gut approximiert.
>
> Dann gibt es ja da einen tollen Satz:
>
> [mm]f_n[/mm] gleichmäßig konvergent [mm]\gdw[/mm]
>
> sup [mm]|f_n(x)[/mm] - f(x)| [mm]\to[/mm] 0 für alle x aus dem
> Definitionsbereich und für n [mm]\to[/mm] infty.
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> Dadurch, dass [mm]f_n[/mm] ein Maximum hat ist [mm]f_n[/mm] beschränkt. Da
> auch der größte wert für n [mm]\to[/mm] infty gegen 0 geht und mein
> f(x) ja gerade 0 ist wird der Abstand zwischen [mm]f_n(x)[/mm] und
> f(x) 0.
>
> Das sup stört mich ein wenig...
>
> Hmmm - aber so ganz passt das doch nicht...
Ist doch alles richtig.
Etwas mathematischer aufgeschrieben sieht es dann so aus: [mm]\parallel f_n(x) - f(x) \parallel_\infty[/mm] = [mm]\parallel f_n(x) - 0 \parallel_\infty[/mm] = [mm]\bruch{1}{2n} \to 0[/mm] für [mm]n \to \infty[/mm].
Hierbei ist [mm]\parallel f(x) \parallel_\infty[/mm] = [mm]sup |f(x)|[/mm] und das [mm] \bruch{1}{2n} [/mm] kommt dadurch, dass ja das Maximum/Minimum bei [mm] \pm\bruch{1}{n} [/mm] eben [mm] \pm\bruch{1}{2n} [/mm] ist.
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