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| Aufgabe | Gegeben sind: A [mm] \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] B [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm] C [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm] und S [mm] \begin{pmatrix} 11 \\ 12 \\ 13 \end{pmatrix}
[/mm]
(Koordinaten stellen Pyramide dar)
1) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichschenklig ist. Bestimmen Sie Koordinatengleichung für E1 in der Ebene ABC.
2) Die Ebene E2: 2x-13y+17z+3=0 verläuft durch nA und C sowie durch einen Punkt D auf der Kante BS.
E2 zerlegt Pyramide in zwei Teilkörper. Berechnen Sie beide Volumina.
3) Ermitteln Sie Winkel zwischen E1 und E2. |
Hallo erstmal!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum gestellt!
Könnte vielleicht einer mal nachrechnen, ob ich das bisher richtig gemacht habe?
1) Alle Seiten AB, BC und Ca haben die Länge [mm] \wurzel{24}
[/mm]
Die Ebene E1 hat die Gleichung: [mm] \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +\lambda*\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}+\mu*\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ 2
\end{pmatrix}
[/mm]
3) Schnittwinkel zwichen E1 und E2 ist ungefähr 81,083°
Nun brauche ich etwas Hilfe:
2) ich habe E2 in die Parameterform [mm] umgewandelt:\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -10 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+\lambda*\begin{pmatrix} 17 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}+\mu*\begin{pmatrix} 13 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
Jetzt kann ich doch E1-E2 rechnen, um an das fehlende Grundstück der Pyramide zu kommen!
Ist das soweit richtig?
Wie komme ich aber auf den Punkt D?
Danke für Eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:13 So 25.01.2009 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Gegeben sind: A [mm]\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] B
> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm] C
> [mm]\begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm] und S
> [mm]\begin{pmatrix} 11 \\ 12 \\ 13 \end{pmatrix}[/mm]
> (Koordinaten
> stellen Pyramide dar)
> 2) Die Ebene E2: 2x-13y+17z+3=0 verläuft durch nA und C
> sowie durch einen Punkt D auf der Kante BS.
> E2 zerlegt Pyramide in zwei Teilkörper. Berechnen Sie
> beide Volumina.
> 2) ich habe E2 in die Parameterform
> [mm]umgewandelt:\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -10 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+\lambda*\begin{pmatrix} 17 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}+\mu*\begin{pmatrix} 13 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
lieber nicht! Das macht keinen Sinn.
Stelle die Geradengleichung durch B und S auf und setze sie in E2 ein, damit bekommst du D.
Bestimme dann die Fläche des 3ecks ACD (=Grundfläche) sowie den Abstand des Punktes S von E2 (=Höhe).
Mit V = 1/3 * Grundfläche * Höhe bekommst du dann das Volumen der oberen Teilpyramide. Das Volumen des Restkörpers kannst du am besten durch Differenzbildung ermitteln.
Die Fläche eines 3ecks bestimmst du am einfachsten mit dem Vektorprodukt. Falls du das nicht kennst, lege eine Gerade durch 2 Punkte (z.B A und C) und bestimme den Abstand des 3. Punktes von dieser Geraden. Das ist die Höhe des 3ecks. Die Grundseite ist dann der Abstand von A und C. A = 1/2 * g * h ist dann die Fläche.
LG
Will
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:21 Mo 26.01.2009 | | Autor: | Species8472 |
Hallo!
Ich habe jetzt den Punkt D [mm] \begin{pmatrix} 6 \\ 9 \\ 6 \end{pmatrix} [/mm]
Den Abstand von der Ebene ACD kann ich bestimmen. Ich befürchte nur, dass ich mich irgendwo verrechnet habe.
Könnte mal einer nachrechnen?
Ich habe die Ebene minus den Punkt S.
Dann die beiden Stützvektoren jeweils mit der Ebenenglöeichung multiplizieren.
Dann bekomme ich ein Gleichungssystem und kann [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] ausrechnen.
[mm] \mu= -1\bruch{71}{77}
[/mm]
[mm] \lambda= 26\bruch{359}{462} [/mm] und [mm] \lambda=1\bruch{71}{154} [/mm]
Das kann ja nicht stimmen. Kann mir das bitte mal einer nachrechnen?
Danke!
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Hallo Species8472,
> Hallo!
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> Ich habe jetzt den Punkt D [mm]\begin{pmatrix} 6 \\ 9 \\ 6 \end{pmatrix}[/mm]
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> Den Abstand von der Ebene ACD kann ich bestimmen. Ich
> befürchte nur, dass ich mich irgendwo verrechnet habe.
> Könnte mal einer nachrechnen?
> Ich habe die Ebene minus den Punkt S.
> Dann die beiden Stützvektoren jeweils mit der
> Ebenenglöeichung multiplizieren.
> Dann bekomme ich ein Gleichungssystem und kann [mm]\lambda[/mm] und
> [mm]\mu[/mm] ausrechnen.
> [mm]\mu= -1\bruch{71}{77}[/mm]
> [mm]\lambda= 26\bruch{359}{462}[/mm] und
> [mm]\lambda=1\bruch{71}{154}[/mm]
>
> Das kann ja nicht stimmen. Kann mir das bitte mal einer
> nachrechnen?
>
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Gruß informix
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Hallo!
Also hier mein Lösungsweg:
Den Vektor D [mm] \begin{pmatrix} 6 \\ 9 \\ 6 \end{pmatrix} [/mm] stimmt. Ich habe ihn mehreremale errechnet.
Volumen der Pyramide ACDS:
Grundfläche:
Die Länge des Vektors AC ist [mm] \wurzel{24}. [/mm] Das ist meine Grundseite.
Nun den Abstand von der Geraden AC zum Punkt D berechnen:
Gerade AC: [mm] \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda*\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}
[/mm]
Nun ziehe ich den Vektor D [mm] \begin{pmatrix} 6 \\ 9 \\ 6 \end{pmatrix} [/mm] von der Gerade ab und erhalte:
[mm] \begin{pmatrix} -3 \\ -7 \\ -5 \end{pmatrix}+\lambda*\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}*[\begin{pmatrix} -3 \\ -7 \\ -5 \end{pmatrix}+\lambda*\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] -12+24\lambda=0 [/mm] Also: [mm] \lambda= \left( \bruch{1}{2} \right) [/mm]
[mm] \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+\left( \bruch{1}{2} \right)*\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm]
[mm] \left|\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\right|= \wurzel{14}
[/mm]
Das ist meine Grundfläche:
A= [mm] \left( \bruch{1}{3} \right) *\wurzel{14} [/mm] * [mm] \wurzel{24}
[/mm]
Höhe der Pyramide:
Ebene ACD: [mm] \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} +\mu [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 5 \end{pmatrix}
[/mm]
Ich ziehe den Punkt S [mm] \begin{pmatrix} 11 \\ 12 \\ 13 \end{pmatrix} [/mm] von der Ebenengleichung ab und erhalte:
[mm] \begin{pmatrix} -8 \\ -10 \\ -12 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda *\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \mu *\begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 5 \end{pmatrix}
[/mm]
Die beiden Stützvektoren multipliziere ich jeweils mit der ganzen [mm] Ebenengleichung\begin{pmatrix} -8 \\ -10 \\ -12 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda *\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \mu *\begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 5 \end{pmatrix}
[/mm]
Gleichungssystem:
[mm] -12+24\lambda [/mm] +12 [mm] \mu [/mm] =0
154+12 [mm] \lambda [/mm] +83 [mm] \mu [/mm] =0
[mm] \lambda =-\bruch{71}{154}
[/mm]
[mm] \mu [/mm] = [mm] 1\bruch{71}{77}
[/mm]
Dann erhalte ich nach Einsetzen in dei Ebene
[mm] \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] - [mm] \bruch{71}{154} [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] 1\bruch{71}{77} [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 5 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 10 \bruch{47}{77 } \\ 14\bruch{41}{77} \\ 9\bruch{53}{77} \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \left|\begin{pmatrix} 10 \bruch{47}{77 } \\ 14\bruch{41}{77} \\ 9\bruch{53}{77} \end{pmatrix}\right| [/mm] = [mm] \wurzel{417,63}
[/mm]
Volumen des Teilkörpers der Pyramide:
V= [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \wurzel(417.63) [/mm] * [mm] \wurzel(24) *\wurzel(14) [/mm] = 62.433
Ist das soweit richtig?
Danke für eure Hilfe!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mi 28.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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