Pyramide < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo liebe Forumfreunde.
leider komme ich bei folgender Aufgabe nicht weiter,deshalb bitte ich euch um eure Hilfe.
Aufgabe:
Gegeben: A=(4;0;0) , B=(4;4;0) , C=(0;4;0) , S=(2;2;5).
0(=Ursprung) A B C ist die Grundfläche einer vierseitigen Pyramide mit der Spitze S.
a)Berechnen Sie den Abstand des Punktes B von der Seitenfläche 0AS.
b)Berechnen Sie den Absatnd des Punktes B von der Kante [mm] \overline{AS}.
[/mm]
c) Berechnen Sie den Winkel zwischen der Seitenfläche 0AS und der Grundfläche.
d)Berechnen Sie den Winkel zwischen den Seitenfläche 0AS und ABS.
e)Berechnen Sie den Winkel zwischen der Kante [mm] \overline{AS} [/mm] und der Grundfläche.
f) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide.
Bei a) habe ich folgendes:
Habe eine Ebenengleichung aufgestellt:
[mm] E:\vec{x}= \vektor{0 \\ 0 \\ 0}+r*\vektor{4 \\ 0 \\ 0}+s*\vektor{2 \\ 2 \\ 5}.
[/mm]
Nun Habe ich aus den beiden Richtungsvektoren die Normalenform gerechnet und habe [mm] folgendes:\vektor{0 \\ -2 0 \\ 8}=\vec{n}
[/mm]
[mm] \left| \vec{n} \right| =4*\wurzel{29};
[/mm]
[mm] \left| \vec{b} \right| [/mm] = 4* [mm] \wurzel{2},
[/mm]
und von dem Stützvektor (notwendig aufgrund der Hessischen Normalenformregel) der Betrag ist ja 0.
Jetzt weiß ich leider nicht mehr weiter.(Kontrolle:Ergebnis müsste 3,71 sein)
b) verstehe nich genau was was mit der Kante von [mm] \overline{AS} [/mm] gemeint ist,weiß nicht wie ich vorgehen soll.
c)d) und e) verstehe nicht wie ich die Winkel berechnen soll.
bei f) verstehe nicht wie ich die Grundfläche berechnen soll,das man diese ja für die Volumenberechnung braucht.
Würd mich über jede Hilfe freuen.
Vielen Dank im Voraus.
MfG
Hasan
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Hallo plutino99,
> Hallo liebe Forumfreunde.
> leider komme ich bei folgender Aufgabe nicht
> weiter,deshalb bitte ich euch um eure Hilfe.
>
> Aufgabe:
>
> Gegeben: A=(4;0;0) , B=(4;4;0) , C=(0;4;0) , S=(2;2;5).
> 0(=Ursprung) A B C ist die Grundfläche einer vierseitigen
> Pyramide mit der Spitze S.
>
> a)Berechnen Sie den Abstand des Punktes B von der
> Seitenfläche 0AS.
> b)Berechnen Sie den Absatnd des Punktes B von der Kante
> [mm]\overline{AS}.[/mm]
> c) Berechnen Sie den Winkel zwischen der Seitenfläche 0AS
> und der Grundfläche.
> d)Berechnen Sie den Winkel zwischen den Seitenfläche 0AS
> und ABS.
> e)Berechnen Sie den Winkel zwischen der Kante
> [mm]\overline{AS}[/mm] und der Grundfläche.
> f) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide.
>
> Bei a) habe ich folgendes:
>
> Habe eine Ebenengleichung aufgestellt:
>
> [mm]E:\vec{x}= \vektor{0 \\ 0 \\ 0}+r*\vektor{4 \\ 0 \\ 0}+s*\vektor{2 \\ 2 \\ 5}.[/mm]
>
> Nun Habe ich aus den beiden Richtungsvektoren die
> Normalenform gerechnet und habe [mm]folgendes:\vektor{0 \\ -2 0 \\ 8}=\vec{n}[/mm]
Nun, dann läßt sich die Ebene auch so schreiben:
[mm]E:\overrightarrow{x}\*\pmat{0 \\ -20 \\ 8}=0[/mm]
Definiere dann die Gerade
[mm]g:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OB}+\lambda*\pmat{0 \\ -20 \\ 8}[/mm]
Und schneide diese Gerade g mit der Ebene E, indem Du g in E einsetzt.
>
> [mm]\left| \vec{n} \right| =4*\wurzel{29};[/mm]
> [mm]\left| \vec{b} \right|[/mm]
> = 4* [mm]\wurzel{2},[/mm]
> und von dem Stützvektor (notwendig aufgrund der Hessischen
> Normalenformregel) der Betrag ist ja 0.
> Jetzt weiß ich leider nicht mehr
> weiter.(Kontrolle:Ergebnis müsste 3,71 sein)
> b) verstehe nich genau was was mit der Kante von
> [mm]\overline{AS}[/mm] gemeint ist,weiß nicht wie ich vorgehen
> soll.
Nun, definiere eine Gerade
[mm]h:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+\mu*\overrightarrow{AS}[/mm]
Dann muß für den Abstandsvektor [mm]\overrightarrow{d}[/mm] gelten:
[mm]\overrightarrow{d}\*\overrightarrow{AS}=0[/mm]
mit [mm]\overrightarrow{d}=\overrightarrow{OB}-\left(\overrightarrow{OA}+\mu*\overrightarrow{AS}\right)[/mm]
Daraus ergibt sich der Parameter [mm]\mu[/mm] und somit auch der Abstand.
> c)d) und e) verstehe nicht wie ich die Winkel berechnen
> soll.
Bei c) und d) benötigst Du die Normalenvektoren der zugehörigen Flächen.
Der Schnittwinkel ist dann der Winkel zwischen den 2 Normalenvektoren.
Bei e) hast Du den Winkel zwischen einer Gerade und einer Ebene zu berechnen.
> bei f) verstehe nicht wie ich die Grundfläche berechnen
> soll,das man diese ja für die Volumenberechnung braucht.
Die Grundfläche ist hier. da die Pyramide 4-seitig ist,
durch den Betrag des Vektorproduktes der Vektoren [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] und [mm]\overrightarrow{AC}[/mm] gegeben.
>
> Würd mich über jede Hilfe freuen.
> Vielen Dank im Voraus.
> MfG
> Hasan
>
Gruß
MathePower
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Hallo und danke für die angebotene Hilfe.
Nur leider verstehe die Tipps zu a) und b) nicht> Hallo plutino99,
>
> > Hallo liebe Forumfreunde.
> > leider komme ich bei folgender Aufgabe nicht
> > weiter,deshalb bitte ich euch um eure Hilfe.
> >
> > Aufgabe:
> >
> > Gegeben: A=(4;0;0) , B=(4;4;0) , C=(0;4;0) , S=(2;2;5).
> > 0(=Ursprung) A B C ist die Grundfläche einer
> vierseitigen
> > Pyramide mit der Spitze S.
> >
> > a)Berechnen Sie den Abstand des Punktes B von der
> > Seitenfläche 0AS.
> > b)Berechnen Sie den Absatnd des Punktes B von der Kante
> > [mm]\overline{AS}.[/mm]
> > c) Berechnen Sie den Winkel zwischen der Seitenfläche
> 0AS
> > und der Grundfläche.
> > d)Berechnen Sie den Winkel zwischen den Seitenfläche
> 0AS
> > und ABS.
> > e)Berechnen Sie den Winkel zwischen der Kante
> > [mm]\overline{AS}[/mm] und der Grundfläche.
> > f) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide.
> >
> > Bei a) habe ich folgendes:
> >
> > Habe eine Ebenengleichung aufgestellt:
> >
> > [mm]E:\vec{x}= \vektor{0 \\ 0 \\ 0}+r*\vektor{4 \\ 0 \\ 0}+s*\vektor{2 \\ 2 \\ 5}.[/mm]
>
> >
> > Nun Habe ich aus den beiden Richtungsvektoren die
> > Normalenform gerechnet und habe [mm]folgendes:\vektor{0 \\ -2 0 \\ 8}=\vec{n}[/mm]
>
>
> Nun, dann läßt sich die Ebene auch so schreiben:
>
> [mm]E:\overrightarrow{x}\*\pmat{0 \\ -20 \\ 8}=0[/mm]
>
> Definiere dann die Gerade
>
> [mm]g:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OB}+\lambda*\pmat{0 \\ -20 \\ 8}[/mm]
>
> Und schneide diese Gerade g mit der Ebene E, indem Du g in
> E einsetzt.
wie sieht das aus?
>
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> >
> > [mm]\left| \vec{n} \right| =4*\wurzel{29};[/mm]
> > [mm]\left| \vec{b} \right|[/mm]
> > = 4* [mm]\wurzel{2},[/mm]
> > und von dem Stützvektor (notwendig aufgrund der
> Hessischen
> > Normalenformregel) der Betrag ist ja 0.
> > Jetzt weiß ich leider nicht mehr
> > weiter.(Kontrolle:Ergebnis müsste 3,71 sein)
>
>
> > b) verstehe nich genau was was mit der Kante von
> > [mm]\overline{AS}[/mm] gemeint ist,weiß nicht wie ich vorgehen
> > soll.
>
>
> Nun, definiere eine Gerade
>
> [mm]h:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+\mu*\overrightarrow{AS}[/mm]
>
> Dann muß für den Abstandsvektor [mm]\overrightarrow{d}[/mm] gelten:
>
> [mm]\overrightarrow{d}\*\overrightarrow{AS}=0[/mm]
>
> mit
> [mm]\overrightarrow{d}=\overrightarrow{OB}-\left(\overrightarrow{OA}+\mu*\overrightarrow{AS}\right)[/mm]
>
> Daraus ergibt sich der Parameter [mm]\mu[/mm] und somit auch der
> Abstand.
wie soll ich hier den Parameter [mm] \mu [/mm] rausfinden?
>
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> > c)d) und e) verstehe nicht wie ich die Winkel berechnen
> > soll.
>
>
> Bei c) und d) benötigst Du die Normalenvektoren der
> zugehörigen Flächen.
> Der Schnittwinkel ist dann der Winkel zwischen den 2
> Normalenvektoren.
Verstanden,danke.
>
> Bei e) hast Du den Winkel zwischen einer Gerade und einer
> Ebene zu berechnen.
Wie schreibe die Grundfläche als eine Ebene?wenn ich das habe könnte ich zwar den Winkel berechnen mit dem cos.
>
>
> > bei f) verstehe nicht wie ich die Grundfläche berechnen
> > soll,das man diese ja für die Volumenberechnung braucht.
>
>
> Die Grundfläche ist hier. da die Pyramide 4-seitig ist,
> durch den Betrag des
> Vektorproduktes
> der Vektoren [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] und [mm]\overrightarrow{AC}[/mm]
> gegeben.
Vielen Dank im Voraus.
MfG
hasan
>
>
> >
> > Würd mich über jede Hilfe freuen.
> > Vielen Dank im Voraus.
> > MfG
> > Hasan
> >
>
> Gruß
> MathePower
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Hallo plutino99,
> Hallo und danke für die angebotene Hilfe.
>
> Nur leider verstehe die Tipps zu a) und b) nicht> Hallo
> plutino99,
> >
> > > Hallo liebe Forumfreunde.
> > > leider komme ich bei folgender Aufgabe nicht
> > > weiter,deshalb bitte ich euch um eure Hilfe.
> > >
> > > Aufgabe:
> > >
> > > Gegeben: A=(4;0;0) , B=(4;4;0) , C=(0;4;0) , S=(2;2;5).
> > > 0(=Ursprung) A B C ist die Grundfläche einer
> > vierseitigen
> > > Pyramide mit der Spitze S.
> > >
> > > a)Berechnen Sie den Abstand des Punktes B von der
> > > Seitenfläche 0AS.
> > > b)Berechnen Sie den Absatnd des Punktes B von der
> Kante
> > > [mm]\overline{AS}.[/mm]
> > > c) Berechnen Sie den Winkel zwischen der
> Seitenfläche
> > 0AS
> > > und der Grundfläche.
> > > d)Berechnen Sie den Winkel zwischen den Seitenfläche
> > 0AS
> > > und ABS.
> > > e)Berechnen Sie den Winkel zwischen der Kante
> > > [mm]\overline{AS}[/mm] und der Grundfläche.
> > > f) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide.
> > >
> > > Bei a) habe ich folgendes:
> > >
> > > Habe eine Ebenengleichung aufgestellt:
> > >
> > > [mm]E:\vec{x}= \vektor{0 \\ 0 \\ 0}+r*\vektor{4 \\ 0 \\ 0}+s*\vektor{2 \\ 2 \\ 5}.[/mm]
>
> >
> > >
> > > Nun Habe ich aus den beiden Richtungsvektoren die
> > > Normalenform gerechnet und habe [mm]folgendes:\vektor{0 \\ -2 0 \\ 8}=\vec{n}[/mm]
>
> >
> >
> > Nun, dann läßt sich die Ebene auch so schreiben:
> >
> > [mm]E:\overrightarrow{x}\*\pmat{0 \\ -20 \\ 8}=0[/mm]
> >
> > Definiere dann die Gerade
> >
> > [mm]g:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OB}+\lambda*\pmat{0 \\ -20 \\ 8}[/mm]
>
> >
> > Und schneide diese Gerade g mit der Ebene E, indem Du g in
> > E einsetzt.
>
> wie sieht das aus?
[mm]\left(\overrightarrow{OB}+\lambda*\pmat{0 \\ -20 \\ 8}\right)\*\pmat{0 \\ -20 \\ 8}=0[/mm]
, wobei [mm]\*[/mm] das Skalarprodukt ist.
Hieraus folgt der Parameter [mm]\lambda[/mm].
> >
> >
> > >
> > > [mm]\left| \vec{n} \right| =4*\wurzel{29};[/mm]
> > > [mm]\left| \vec{b} \right|[/mm]
> > > = 4* [mm]\wurzel{2},[/mm]
> > > und von dem Stützvektor (notwendig aufgrund der
> > Hessischen
> > > Normalenformregel) der Betrag ist ja 0.
> > > Jetzt weiß ich leider nicht mehr
> > > weiter.(Kontrolle:Ergebnis müsste 3,71 sein)
> >
> >
> > > b) verstehe nich genau was was mit der Kante von
> > > [mm]\overline{AS}[/mm] gemeint ist,weiß nicht wie ich vorgehen
> > > soll.
> >
> >
> > Nun, definiere eine Gerade
> >
> >
> [mm]h:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+\mu*\overrightarrow{AS}[/mm]
> >
> > Dann muß für den Abstandsvektor [mm]\overrightarrow{d}[/mm] gelten:
> >
> > [mm]\overrightarrow{d}\*\overrightarrow{AS}=0[/mm]
> >
> > mit
> >
> [mm]\overrightarrow{d}=\overrightarrow{OB}-\left(\overrightarrow{OA}+\mu*\overrightarrow{AS}\right)[/mm]
> >
> > Daraus ergibt sich der Parameter [mm]\mu[/mm] und somit auch der
> > Abstand.
> wie soll ich hier den Parameter [mm]\mu[/mm] rausfinden?
>
Der Parameter [mm]\mu[/mm] bestimmt sich aus
[mm]\overrightarrow{d}\*\overrightarrow{AS}=\left( \ \overrightarrow{OB}-\left(\overrightarrow{OA}+\mu*\overrightarrow{AS}\right) \ \right)\*\overrightarrow{AS}=0[/mm]
>
> >
>
> >
> > > c)d) und e) verstehe nicht wie ich die Winkel berechnen
> > > soll.
> >
> >
> > Bei c) und d) benötigst Du die Normalenvektoren der
> > zugehörigen Flächen.
> > Der Schnittwinkel ist dann der Winkel zwischen den 2
> > Normalenvektoren.
>
> Verstanden,danke.
> >
> > Bei e) hast Du den Winkel zwischen einer Gerade und einer
> > Ebene zu berechnen.
>
> Wie schreibe die Grundfläche als eine Ebene?wenn ich das
> habe könnte ich zwar den Winkel berechnen mit dem cos.
Nun, Du hast 3 Punkte einer Ebene, dadurch ist diese bestimmt,
sofern diese 3 Punkte nicht auf einer Geraden liegen:
[mm]\left(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{OA}\right)\*\left(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right)=0[/mm]
>
> >
> >
> > > bei f) verstehe nicht wie ich die Grundfläche berechnen
> > > soll,das man diese ja für die Volumenberechnung braucht.
> >
> >
> > Die Grundfläche ist hier. da die Pyramide 4-seitig ist,
> > durch den Betrag des
> > Vektorproduktes
> > der Vektoren [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] und [mm]\overrightarrow{AC}[/mm]
> > gegeben.
>
> Vielen Dank im Voraus.
> MfG
> hasan
> >
> >
> > >
> > > Würd mich über jede Hilfe freuen.
> > > Vielen Dank im Voraus.
> > > MfG
> > > Hasan
> > >
> >
> > Gruß
> > MathePower
>
Gruß
MathePower
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Hallo und nochmal danke für die angebotene Hilfe.
bei a) habe ich nun folgendes:
[mm] \vektor{4+0\lambda \\ 4-20\lambda \\ 0+8\lambda}*(\vektor{0 \\ -20\\ 8}=-20(4-20\lambda)+8(8\lambda)
[/mm]
[mm] -80=-464\lambda
[/mm]
[mm] 0,172=\lambda
[/mm]
ist das korrekt?
und bei b) habe ich nun folgendes:(auch da komme ich nicht weiter)
[mm] (\vektor{4 \\ 4 \\ 0}-((\vektor{4-2 \mu \\ 2\mu \\ 5\mu})))
[/mm]
hier weiß ich leider nicht wie ich weiter zusammenfassen kann und dann muss ich das ja nochmal das Skalarprodukt mit dem [mm] \overrightarrow{AS}rechnen,das [/mm] leuchtet mir nicht ein,wie sieht das ganze am Ende denn aus?bin etwas begriffsstützig sorry.
Würd mich über jede Hilfe freuen.
Vielen Dank im Voraus.
MfG
Hasan
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Hallo plutino99,
> Hallo und nochmal danke für die angebotene Hilfe.
>
> bei a) habe ich nun folgendes:
>
> [mm]\vektor{4+0\lambda \\ 4-20\lambda \\ 0+8\lambda}*(\vektor{0 \\ -20\\ 8}=-20(4-20\lambda)+8(8\lambda)[/mm]
>
> [mm]-80=-464\lambda[/mm]
> [mm]0,172=\lambda[/mm]
Lass das lieber so stehen: [mm]\lambda=\bruch{80}{464}[/mm]
Denn das brauchst Du noch zur Abstandsberechnung.
Dieser ergibt sich zu [mm]d_{E,B}=\vmat{\lambda*\overrightarrow{n}}[/mm]
> ist das korrekt?
>
> Vielen Dank im Voraus.
> MfG
> Hasan
>
Gruß
MathePower
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Hallo und nochmal vielen Dank für die Hilfe
bei b) habe ich nun folgendes:(auch da komme ich nicht weiter)
[mm] (\vektor{4 \\ 4 \\ 0}-((\vektor{4-2 \mu \\ 2\mu \\ 5\mu}))) [/mm]
hier weiß ich leider nicht wie ich weiter zusammenfassen kann und dann muss ich das ja nochmal das Skalarprodukt mit dem [mm] \overrightarrow{AS}rechnen,das [/mm] leuchtet mir nicht ein,wie sieht das ganze am Ende denn aus?bin etwas begriffsstützig sorry.
Würd mich über jede Hilfe freuen.
Vielen Dank im Voraus.
MfG
Hasan
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Hallo plutino99,
> Hallo und nochmal vielen Dank für die Hilfe
>
> bei b) habe ich nun folgendes:(auch da komme ich nicht
> weiter)
>
> [mm](\vektor{4 \\ 4 \\ 0}-((\vektor{4-2 \mu \\ 2\mu \\ 5\mu})))[/mm]
>
> hier weiß ich leider nicht wie ich weiter zusammenfassen
> kann und dann muss ich das ja nochmal das Skalarprodukt mit
> dem [mm]\overrightarrow{AS}rechnen,das[/mm] leuchtet mir nicht
> ein,wie sieht das ganze am Ende denn aus?bin etwas
> begriffsstützig sorry.
Hier mußt Du diese Gleichung lösen:
[mm]\left( \ \pmat{4 \\ 4 \\ 0}-\left(\pmat{4 \\ 0 \\ 0} +\mu
*\pmat{-2 \\ 2 \\ 5}}\right) \ \right)\*\pmat{-2 \\ 2 \\ 5}=0[/mm]
[mm] \gdw \left( \ \pmat{0 \\ 4 \\ 0}-\mu
*\pmat{-2 \\ 2 \\ 5} \ \right)\*\pmat{-2 \\ 2 \\ 5}=0[/mm]
>
> Würd mich über jede Hilfe freuen.
> Vielen Dank im Voraus.
> MfG
> Hasan
>
Gruß
MathePower
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Hallo und danke für die Hilfe.
> Hallo plutino99,
>
> > Hallo und nochmal vielen Dank für die Hilfe
> >
> > bei b) habe ich nun folgendes:(auch da komme ich nicht
> > weiter)
> >
> > [mm](\vektor{4 \\ 4 \\ 0}-((\vektor{4-2 \mu \\ 2\mu \\ 5\mu})))[/mm]
> >
> > hier weiß ich leider nicht wie ich weiter zusammenfassen
> > kann und dann muss ich das ja nochmal das Skalarprodukt mit
> > dem [mm]\overrightarrow{AS}rechnen,das[/mm] leuchtet mir nicht
> > ein,wie sieht das ganze am Ende denn aus?bin etwas
> > begriffsstützig sorry.
>
>
> Hier mußt Du diese Gleichung lösen:
>
> [mm]\left( \ \pmat{4 \\ 4 \\ 0}-\left(\pmat{4 \\ 0 \\ 0} +\mu
*\pmat{-2 \\ 2 \\ 5}}\right) \ \right)\*\pmat{-2 \\ 2 \\ 5}=0[/mm]
>
> [mm]\gdw \left( \ \pmat{0 \\ 4 \\ 0}-\mu
*\pmat{-2 \\ 2 \\ 5} \ \right)\*\pmat{-2 \\ 2 \\ 5}=0[/mm]
bei mir sieht das nun so aus:
aufgelöst:
[mm] \vektor{2\mu \\ 4-2\mu \\ -5\mu}*\vektor{-2 \\ 2 \\ 5}=-2(2\mu)+2(4-2\mu)+5(-5\mu)
[/mm]
[mm] \gdw -8=-33\mu
[/mm]
[mm] \bruch{8}{33}=\mu
[/mm]
Ist das nun der Abstand?
Unser Lehrer hatte uns zur Kntrolle das Ergebnis verraten,nämlich 3,75,also muss da ja was falches sein oder?
Vielen Dank im Voraus
MfG
Hasan
>
> >
> > Würd mich über jede Hilfe freuen.
> > Vielen Dank im Voraus.
> > MfG
> > Hasan
> >
>
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> Gruß
> MathePower
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Hallo plutino99,
> Hallo und danke für die Hilfe.
>
> > Hallo plutino99,
> >
> > > Hallo und nochmal vielen Dank für die Hilfe
> > >
> > > bei b) habe ich nun folgendes:(auch da komme ich nicht
> > > weiter)
> > >
> > > [mm](\vektor{4 \\ 4 \\ 0}-((\vektor{4-2 \mu \\ 2\mu \\ 5\mu})))[/mm]
> > >
> > > hier weiß ich leider nicht wie ich weiter zusammenfassen
> > > kann und dann muss ich das ja nochmal das Skalarprodukt mit
> > > dem [mm]\overrightarrow{AS}rechnen,das[/mm] leuchtet mir nicht
> > > ein,wie sieht das ganze am Ende denn aus?bin etwas
> > > begriffsstützig sorry.
> >
> >
> > Hier mußt Du diese Gleichung lösen:
> >
> > [mm]\left( \ \pmat{4 \\ 4 \\ 0}-\left(\pmat{4 \\ 0 \\ 0} +\mu
*\pmat{-2 \\ 2 \\ 5}}\right) \ \right)\*\pmat{-2 \\ 2 \\ 5}=0[/mm]
>
> >
> > [mm]\gdw \left( \ \pmat{0 \\ 4 \\ 0}-\mu
*\pmat{-2 \\ 2 \\ 5} \ \right)\*\pmat{-2 \\ 2 \\ 5}=0[/mm]
>
> bei mir sieht das nun so aus:
> aufgelöst:
>
> [mm]\vektor{2\mu \\ 4-2\mu \\ -5\mu}*\vektor{-2 \\ 2 \\ 5}=-2(2\mu)+2(4-2\mu)+5(-5\mu)[/mm]
>
> [mm]\gdw -8=-33\mu[/mm]
> [mm]\bruch{8}{33}=\mu[/mm]
>
> Ist das nun der Abstand?
> Unser Lehrer hatte uns zur Kntrolle das Ergebnis
> verraten,nämlich 3,75,also muss da ja was falches sein
> oder?
Für den Abstand gilt:
[mm]d=\vmat{\pmat{0 \\ 4 \\ 0} - \bruch{8}{33}*\pmat{-2 \\ 2 \\ 5}}[/mm]
[mm]=\wurzel{\left(\pmat{0 \\ 4 \\ 0} - \bruch{8}{33}*\pmat{-2 \\ 2 \\ 5}\right)\*\left(\pmat{0 \\ 4 \\ 0} - \bruch{8}{33}*\pmat{-2 \\ 2 \\ 5}\right)}[/mm]
[mm]=\wurzel{16-16*\bruch{8}{33}+\left(\ \bruch{8}{33} \ \right)^{2}*33}[/mm]
[mm]=\wurzel{\bruch{464}{33}} = 3.7497... \approx 3.75[/mm]
>
> Vielen Dank im Voraus
> MfG
> Hasan
> >
> > >
> > > Würd mich über jede Hilfe freuen.
> > > Vielen Dank im Voraus.
> > > MfG
> > > Hasan
> > >
> >
> >
> > Gruß
> > MathePower
>
Gruß
MathePower
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Hallo
Gegeben: A=(4;0;0) , B=(4;4;0) , C=(0;4;0) , S=(2;2;5).
0(=Ursprung) A B C ist die Grundfläche einer vierseitigen Pyramide mit der Spitze S.
c) Berechnen Sie den Winkel zwischen der Seitenfläche 0AS und der Grundfläche.
Wie würde denn hier der Normalenvektor für die Grundfläche aussehen?um meine frage besser auszudrücken:wie würde denn die Ebenengleichung für die Grundfläche aussehen müssen?
Freue mich über jede Hilfe.
Vielen DAnk im Voraus.
MfG
Hasan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:11 Fr 15.05.2009 | | Autor: | glie |
> Hallo
>
> Gegeben: A=(4;0;0) , B=(4;4;0) , C=(0;4;0) , S=(2;2;5).
> 0(=Ursprung) A B C ist die Grundfläche einer vierseitigen
> Pyramide mit der Spitze S.
>
> c) Berechnen Sie den Winkel zwischen der Seitenfläche 0AS
> und der Grundfläche.
> Wie würde denn hier der Normalenvektor für die Grundfläche
> aussehen?um meine frage besser auszudrücken:wie würde denn
> die Ebenengleichung für die Grundfläche aussehen müssen?
>
> Freue mich über jede Hilfe.
> Vielen DAnk im Voraus.
> MfG
> Hasan
Hallo Hasan,
also wenn du ganz scharf hinschaust, dann siehst du, dass die Punkte O,A,B,C eine gemeinsame Eigenschaft haben, nämlich
[mm] x_3=0
[/mm]
Das wäre dann schon die Ebenengleichung.
Alternativ gibts natürlich noch den sturen Weg:
Aufstellen einer Ebenengleichung aus Stützvektor und 2 linear unabhängigen Richtungsvektoren, also zum Beispiel:
[mm] G:\vec{X}=\vec{O}+r*\overrightarrow{OA}+s*\overrightarrow{OB}
[/mm]
Gruß Glie
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Hallo ,
> > > > f) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide.
> > > >
> > > > bei f) verstehe nicht wie ich die Grundfläche berechnen
> > > > soll,das man diese ja für die Volumenberechnung braucht.
> > >
> > >
> > > Die Grundfläche ist hier. da die Pyramide 4-seitig ist,
> > > durch den Betrag des
> > > Vektorproduktes
Was ist hier mit;durch den Betrag des
http://www.mathebank.de/wissen/Vektorprodukt] Vektorproduktes gemeint?leider verstehe ich das nicht richtig,und wie bestimme ich dann die Höhe.
> > > der Vektoren [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] und [mm]\overrightarrow{AC}[/mm]
> > > gegeben.
Würd mich über weitere Hilfe freuen.
Vielen Dank im Voraus.
MfG
Hasan
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Hallo plutino99,
> Hallo ,
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> > > > > f) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide.
> > > > >
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> > > > > bei f) verstehe nicht wie ich die Grundfläche berechnen
> > > > > soll,das man diese ja für die Volumenberechnung braucht.
> > > >
> > > >
> > > > Die Grundfläche ist hier. da die Pyramide 4-seitig ist,
> > > > durch den Betrag des
> > > > Vektorproduktes
>
> Was ist hier mit;durch den Betrag des
> http://www.mathebank.de/wissen/Vektorprodukt]
> Vektorproduktes gemeint?leider verstehe ich das nicht
> richtig,und wie bestimme ich dann die Höhe.
> > > > der Vektoren [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] und
> [mm]\overrightarrow{AC}[/mm]
> > > > gegeben.
Nun, der Betrag eines Vektors [mm]\overrightarrow{v}[/mm] ist
die Wurzel aus dem Skalarpodukt dieses Vektors mit sich selbst:
[mm]\vmat{\overrrightarrow{v}}=\wurzel{\overrightarrow{v}\*\overrightarrow{v}}[/mm]
Und [mm]\overrightarrow{v}[/mm] is hier ein Vektor, der sowohl auf [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] als auch auf [mm]\overrightarrow{AC}[/mm] senkrecht steht.
Daher gelten hier zwei Gleichungen:
[mm]\overrightarrow{AB}\*\overrightarrow{v}=0[/mm]
[mm]\overrightarrow{AC}\*\overrightarrow{v}=0[/mm]
Die Lösung , die durch diese Gleichungen bestimmt ist,
ist das Vektorprodukt aus [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] und [mm]\overrightarrow{AC}[/mm].
Daher [mm]\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}[/mm]
Natürlich kannst Du die Höhe der Grundfläche auch zu Fuß berechnen:
Definiere dazu eine Gerade
[mm]k:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+\nu*\overrightarrow{AB}[/mm]
Der Abstandsvektor [mm]\overrightarrow{d}[/mm] ist gegeben durch:
[mm]\overrightarrow{d}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}-\nu*\overrightarrow{AB}[/mm]
Dieser muß senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden stehen:
[mm]\overrightarrow{d}\*\overrightarrow{AB}=0[/mm]
[mm] \gdw \left( \ \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}-\nu*\overrightarrow{AB} \ \right) \* \overrightarrow{AB}=0[/mm]
Daraus bestimmt sich der Parameter [mm]\nu[/mm].
Dann bestimmt sich die Höhe der Grundfläche zu
[mm]\operatorname{Hoehe}:=\vmat{\overrightarrow{d}}[/mm]
>
> Würd mich über weitere Hilfe freuen.
> Vielen Dank im Voraus.
> MfG
> Hasan
Gruß
MathePower
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Hallo und danke für die kontinuierliche Hilfe.
Aufgabe:
Gegeben: A=(4;0;0) , B=(4;4;0) , C=(0;4;0) , S=(2;2;5).
0(=Ursprung) A B C ist die Grundfläche einer vierseitigen Pyramide mit der Spitze S.
f) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide.
> Nun, der Betrag eines Vektors [mm]\overrightarrow{v}[/mm] ist
> die Wurzel aus dem Skalarpodukt dieses Vektors mit sich
> selbst:
>
> [mm]\vmat{\overrrightarrow{v}}=\wurzel{\overrightarrow{v}\*\overrightarrow{v}}[/mm]
>
> Und [mm]\overrightarrow{v}[/mm] is hier ein Vektor, der sowohl auf
> [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] als auch auf [mm]\overrightarrow{AC}[/mm]
> senkrecht steht.
>
> Daher gelten hier zwei Gleichungen:
>
> [mm]\overrightarrow{AB}\*\overrightarrow{v}=0[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{AC}\*\overrightarrow{v}=0[/mm]
>
> Die Lösung , die durch diese Gleichungen bestimmt ist,
> ist das Vektorprodukt aus [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] und
> [mm]\overrightarrow{AC}[/mm].
>
> Daher
> [mm]\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}[/mm]
Hier bin ich nun folgendermaßen vorgegangen:
[mm] \overrightarrow{AB}=\vektor{0 \\ 4 \\ 0}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AC}=\vektor{-4 \\ 4 \\ 0}
[/mm]
Das Kreuzprodukt sieht folgendermaßen aus,aus den beiden:
[mm] \vec{v}=\vektor{0 \\ 0 \\ 16}
[/mm]
[mm] \left| v \right| [/mm] = 16=Grundfläche der Pyramide, oder?
> Natürlich kannst Du die Höhe der Grundfläche auch zu Fuß
> berechnen:
>
> Definiere dazu eine Gerade
>
> [mm]k:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+\nu*\overrightarrow{AB}[/mm]
>
> Der Abstandsvektor [mm]\overrightarrow{d}[/mm] ist gegeben durch:
>
> [mm]\overrightarrow{d}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}-\nu*\overrightarrow{AB}[/mm]
>
> Dieser muß senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden
> stehen:
>
> [mm]\overrightarrow{d}\*\overrightarrow{AB}=0[/mm]
>
> [mm]\gdw \left( \ \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}-\nu*\overrightarrow{AB} \ \right) \* \overrightarrow{AB}=0[/mm]
>
> Daraus bestimmt sich der Parameter [mm]\nu[/mm].
>
> Dann bestimmt sich die Höhe der Grundfläche zu
>
> [mm]\operatorname{Hoehe}:=\vmat{\overrightarrow{d}}[/mm]
Hier bin ich folgendermaßen vorgegangen:
[mm] \left( \vektor{0 \\ 4 \\ 0}-\vektor{4 \\ 0 \\ 0}- v *\vektor{0 \\ 4 \\ 0}
\right) [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ 4 \\ 0}
[/mm]
[mm] \gdw \left( \vektor{-4 \\ 4 \\ 0} - v* \vektor{0 \\ 4 \\ 0} \right)*\vektor{0 \\ 4 \\ 0}
[/mm]
[mm] \gdw \vektor{-4 \\ 4-4v \\ 0} *\vektor{0 \\ 4 \\ 0}
[/mm]
= 4(4-4v)=16-16v
v=1
jetzt weiß ich leider nicht mehr weiter.
Vielen Dank im Voraus.
MfG
Hasan
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Hallo plutino99,
> Hallo und danke für die kontinuierliche Hilfe.
>
> Aufgabe:
>
> Gegeben: A=(4;0;0) , B=(4;4;0) , C=(0;4;0) , S=(2;2;5).
> 0(=Ursprung) A B C ist die Grundfläche einer vierseitigen
> Pyramide mit der Spitze S.
>
> f) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide.
>
>
>
> > Nun, der Betrag eines Vektors [mm]\overrightarrow{v}[/mm] ist
> > die Wurzel aus dem Skalarpodukt dieses Vektors mit sich
> > selbst:
> >
> >
> [mm]\vmat{\overrrightarrow{v}}=\wurzel{\overrightarrow{v}\*\overrightarrow{v}}[/mm]
> >
> > Und [mm]\overrightarrow{v}[/mm] is hier ein Vektor, der sowohl auf
> > [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] als auch auf [mm]\overrightarrow{AC}[/mm]
> > senkrecht steht.
> >
> > Daher gelten hier zwei Gleichungen:
> >
> > [mm]\overrightarrow{AB}\*\overrightarrow{v}=0[/mm]
> >
> > [mm]\overrightarrow{AC}\*\overrightarrow{v}=0[/mm]
> >
> > Die Lösung , die durch diese Gleichungen bestimmt ist,
> > ist das Vektorprodukt aus [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] und
> > [mm]\overrightarrow{AC}[/mm].
> >
> > Daher
> >
> [mm]\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}[/mm]
>
> Hier bin ich nun folgendermaßen vorgegangen:
>
> [mm]\overrightarrow{AB}=\vektor{0 \\ 4 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{AC}=\vektor{-4 \\ 4 \\ 0}[/mm]
>
> Das Kreuzprodukt sieht folgendermaßen aus,aus den beiden:
>
> [mm]\vec{v}=\vektor{0 \\ 0 \\ 16}[/mm]
>
> [mm]\left| v \right|[/mm] = 16=Grundfläche der Pyramide, oder?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> > Natürlich kannst Du die Höhe der Grundfläche auch zu Fuß
> > berechnen:
> >
> > Definiere dazu eine Gerade
> >
> >
> [mm]k:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+\nu*\overrightarrow{AB}[/mm]
> >
> > Der Abstandsvektor [mm]\overrightarrow{d}[/mm] ist gegeben durch:
> >
> >
> [mm]\overrightarrow{d}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}-\nu*\overrightarrow{AB}[/mm]
> >
> > Dieser muß senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden
> > stehen:
> >
> > [mm]\overrightarrow{d}\*\overrightarrow{AB}=0[/mm]
> >
> > [mm]\gdw \left( \ \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}-\nu*\overrightarrow{AB} \ \right) \* \overrightarrow{AB}=0[/mm]
>
> >
> > Daraus bestimmt sich der Parameter [mm]\nu[/mm].
> >
> > Dann bestimmt sich die Höhe der Grundfläche zu
> >
> > [mm]\operatorname{Hoehe}:=\vmat{\overrightarrow{d}}[/mm]
>
> Hier bin ich folgendermaßen vorgegangen:
>
> [mm]\left( \vektor{0 \\ 4 \\ 0}-\vektor{4 \\ 0 \\ 0}- v *\vektor{0 \\ 4 \\ 0}
\right)[/mm]
> * [mm]\vektor{0 \\ 4 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]\gdw \left( \vektor{-4 \\ 4 \\ 0} - v* \vektor{0 \\ 4 \\ 0} \right)*\vektor{0 \\ 4 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]\gdw \vektor{-4 \\ 4-4v \\ 0} *\vektor{0 \\ 4 \\ 0}[/mm]
>
> = 4(4-4v)=16-16v
> v=1
>
> jetzt weiß ich leider nicht mehr weiter.
Der Abstandsvektor ergibt sich dann zu
[mm]\vektor{-4 \\ 4-4 *\blue{1} \\ 0}=\vektor{-4 \\ 0 \\ 0} [/mm]
Und die Hoehe ist dann der Betrag von diesem Abstandsvektor:
[mm]\operatorname{Hoehe}:=\vmat{\vektor{-4 \\ 0 \\ 0}}=4[/mm]
Somit ergibt die Grundfläche der Pyramide zu:
[mm]\operatorname{Grundflaeche}=\vmat{\overrightarrow{AB}}*\operatorname{Hoehe}[/mm]
[mm]=\vmat{\vektor{0 \\ 4 \\ 0}}*4=4*4=16[/mm]
>
> Vielen Dank im Voraus.
> MfG
> Hasan
>
Gruß
MathePower
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Hallo
Das Volumen ist also,nach der Volumenformel
[mm] V=\bruch{1}{3}*G*h
[/mm]
G=16
h=4
[mm] V=\bruch{1}{3}*16*4=\bruch{64}{3}
[/mm]
oder
ich habe eben noch mal nachgerechnet und da habe ich für die Höhe 5 raus,bin folgendermaßen vorgegangen:
[mm] \overrightarrow{AC}=\vektor{-4 \\ 4 \\ 0}=\vec{v}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AS}=\vektor{-2 \\ 2 \\ 5}=\overrightarrow{AS}
[/mm]
[mm] \left| \overrightarrow{AS}\times \vec{v} \right| [/mm] = [mm] 20\wurzel{2}
[/mm]
[mm] \left| \vec{v} \right| [/mm] = [mm] 4\wurzel{2}
[/mm]
somit müsste ja das Volumen: [mm] V=(5*16):3=\bruch{80}{3} [/mm]
welches ist jetzt richtig?
Vielen Dank im Voraus.
MfG
Hasan
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Hallo plutino99,
> Hallo
>
> Das Volumen ist also,nach der Volumenformel
>
> [mm]V=\bruch{1}{3}*G*h[/mm]
>
> G=16
> h=4
>
> [mm]V=\bruch{1}{3}*16*4=\bruch{64}{3}[/mm]
>
> Korrekt so?
Leider nicht.
Wir haben bisher nur die Grundfläche berechnet.
Der Abstand der Spitze S von der Ebene [mm]E_{ABC}[/mm] muß noch berechnet werden.
>
> Vielen Dank im Voraus.
> MfG
> Hasan
Gruß
MathePower
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Hallo,jetzt haben wirs hoffentlich geschafft und vielen Dank für die Hilfe.
ich habe gerechnet und da habe ich für die Höhe 5 raus,bin folgendermaßen vorgegangen:
[mm] \overrightarrow{AC}=\vektor{-4 \\ 4 \\ 0}=\vec{v} [/mm]
[mm] \overrightarrow{AS}=\vektor{-2 \\ 2 \\ 5}=\overrightarrow{AS} [/mm]
[mm] \left| \overrightarrow{AS}\times \vec{v} \right| [/mm] = [mm] 20\wurzel{2} [/mm]
[mm] \left| \vec{v} \right| [/mm] = [mm] 4\wurzel{2} [/mm]
somit müsste ja das Volumen: [mm] V=(5*16):3=\bruch{80}{3} [/mm]
so müsste es jetzt doch korrekt sein oder?
Vielen Dank im Voraus.
MfG
Hasan
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Hallo plutino99,
> Hallo,jetzt haben wirs hoffentlich geschafft und vielen
> Dank für die Hilfe.
>
> ich habe gerechnet und da habe ich für die Höhe 5 raus,bin
> folgendermaßen vorgegangen:
>
> [mm]\overrightarrow{AC}=\vektor{-4 \\ 4 \\ 0}=\vec{v}[/mm]
> [mm]\overrightarrow{AS}=\vektor{-2 \\ 2 \\ 5}=\overrightarrow{AS}[/mm]
>
> [mm]\left| \overrightarrow{AS}\times \vec{v} \right|[/mm] =
> [mm]20\wurzel{2}[/mm]
>
> [mm]\left| \vec{v} \right|[/mm] = [mm]4\wurzel{2}[/mm]
>
> somit müsste ja das Volumen: [mm]V=(5*16):3=\bruch{80}{3}[/mm]
>
> so müsste es jetzt doch korrekt sein oder?
So isses.
>
> Vielen Dank im Voraus.
> MfG
> Hasan
Gruß
MathePower
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