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Hallo, ich hoffe ihr könnt mir bei folgendem Problem helfen. Es handelt sich um eine Abitur-Aufgabe, von der ich a), b) und d) lösen konnte, jedoch nicht c):
Das Dach eines Turmes hat die Form einer senkrechten quadratischen Pyramide. Die Seitenlänge des Quadrats PQRT (die Grundfläche der Pyramide) und die Höhe OU (die Strecke von der der Mitte der Grundfläche zur Spitze der Pyramide) betragen jeweils 6 Meter.
Aufgabe: Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte, die von der Bodenfläche PQRT und den vier Dachflächenebenen gleichen Abstand haben. Welcher dieser Punkte liegt im Inneren des Dachraumes?
Die Mitte der Grundfläche (Punkt O) ist der Ursprung des 3-dimensionalen Koordinatensystems mit den Achsen x1 (parallel zu den Strecken TP und QR), x2 (parallel zu den Strecken PQ und RT), x3 (senkrechte Achse durch Ursprung und Spitze der Pyramide).
Meinen Überlegungen zufolge müssten 2 Punkte existieren, einer in der Mitte der Pyramide und einer unterhalb der Pyramide. Leider kann ich die Punkte nicht berechnen. Mich würde freuen, wenn mir jemand die Punkte anschaulich berechnen könnte. Das würde mir sehr weiterhelfen. Danke schonmal!
MfG, Kampflaus
PS: Ich habe schon die Ebenengleichung für eine der Dachflächenebenen berechnet: 2y + z - 6 = 0. Der Mittelpunkt müsste die Koordinaten M(0/0/r) haben. Jedoch weiß ich nicht, wie man die Koordinaten möglichst unkompliziert berechnet.
PPS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:31 Mo 14.03.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Kampflaus
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo, ich hoffe ihr könnt mir bei folgendem Problem
> helfen. Es handelt sich um eine Abitur-Aufgabe, von der ich
> a), b) und d) lösen konnte, jedoch nicht c):
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> Das Dach eines Turmes hat die Form einer senkrechten
> quadratischen Pyramide. Die Seitenlänge des Quadrats PQRT
> (die Grundfläche der Pyramide) und die Höhe OU (die Strecke
> von der der Mitte der Grundfläche zur Spitze der Pyramide)
> betragen jeweils 6 Meter.
>
> Aufgabe: Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte, die von
> der Bodenfläche PQRT und den vier Dachflächenebenen
> gleichen Abstand haben. Welcher dieser Punkte liegt im
> Inneren des Dachraumes?
>
> Die Mitte der Grundfläche (Punkt O) ist der Ursprung des
> 3-dimensionalen Koordinatensystems mit den Achsen x1
> (parallel zu den Strecken TP und QR), x2 (parallel zu den
> Strecken PQ und RT), x3 (senkrechte Achse durch Ursprung
> und Spitze der Pyramide).
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> Meinen Überlegungen zufolge müssten 2 Punkte existieren,
> einer in der Mitte der Pyramide und einer unterhalb der
> Pyramide. Leider kann ich die Punkte nicht berechnen. Mich
> würde freuen, wenn mir jemand die Punkte anschaulich
> berechnen könnte. Das würde mir sehr weiterhelfen. Danke
> schonmal!
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> MfG, Kampflaus
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> PS: Ich habe schon die Ebenengleichung für eine der
> Dachflächenebenen berechnet: 2y + z - 6 = 0. Der
> Mittelpunkt müsste die Koordinaten M(0/0/r) haben. Jedoch
> weiß ich nicht, wie man die Koordinaten möglichst
> unkompliziert berechnet.
Na, da hast du ja schon das meiste geschafft. Die weitere Rechnung hängt ein wenig davon ab, wie ihr die Abstandsberechnungen durchgeführt habt. Ich mahe es mal mit Hilfe der Hesse-Normalform
Die Gleichung deiner Ebene in Hesse-Form ist
[mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}(2y + z - 6) = 0 [/mm]
Der Abstand des Punktes M von dieser Ebene ist dann
[mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}|2 \cdot 0 + r - 6|[/mm]
Der Abstand von M zur Grundfläche der Pyramide ist |r|, also erhalst du die Gleichung
[mm] \bruch{1}{\wurzel{5}}|r - 6| = |r| [/mm]
Ich denke, jetzt kommst du weiter, sonst melde dich.
Gruß Sigrid
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> PPS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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