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| Aufgabe | Gegeben sind eine quadratische Pyramide mit den Ecken A(-3/-3/0) B(3/-3/0) C(3/3/0) D(-3/3/0) und der Spitze S(0/0/9) sowie die Ebene [mm] E:3x_{2}+4x_{3}=21
[/mm]
a) Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte der Pyramidenkanten mit der Ebene E. |
Hallo Zusammen ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") ,
Mit dieser Teilaufgabe habe ich meine Probleme, da ich absolut kein Ansatz zum Vorgehen habe.
Ich habe mir die Punkte in ein KS übertragen und die Pyramide gezeichnet.
Was sind Pyramidenkanten?
Ich hoffe, das klappt so, ansonsten scanne ich meine Zeichnung noch ein.
Liebe Grüße,
Sarah 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:03 Do 12.06.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Mit den Pyramidenkanten sind die Strecken [mm] \overline{AS}, \overline{BS}, \overline{CS}, \overline{DS} [/mm] gemeint! Und noch die 4 Seiten der Grundfläche der Pyramide.
Im Endeffekt musste du also die Ebene mit 8 geraden schneiden, mit einem geschulten Auge (oder einer guten Zeichnung) kann man allerdings immer gut Sachen ausschließen, sodass man nicht stumpf alles probieren muss.
Noch ein Hinweis: Wenn du eine Gerade aufstellst und die mit der Ebene schneiden lässt, erhälst du ja den Parameter, der zum Schnittpunkt führt.
Sagen wie du fängst zuerst mit [mm] \overline{AS} [/mm] an.
Dann könntest du ja die Geradengleichung wie folgt aufstellen:
[mm] g_1: \vec{x}=\overrightarrow{OA}+r*\overrightarrow{AS}
[/mm]
Wenn du die Gerade dann mit der Ebene gleichsetzt und du einen Wert für r rauskriegst, dann heißt das nur, dass die Gerade die Ebene schneidet, nicht aber, dass auch die Ebene durch die Kante verläuft, da die Kante ja begrenzt ist! Deshalb muss für r etwas bestimmtes gelten. Vielleicht hast du so etwas mal gemacht, wenn nicht, dann kannst du dir das ja mal überlegen!
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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Hallo Teufel ,
Danke für deine Antwort!
> Im Endeffekt musste du also die Ebene mit 8 geraden
> schneiden, mit einem geschulten Auge (oder einer guten
> Zeichnung) kann man allerdings immer gut Sachen
> ausschließen, sodass man nicht stumpf alles probieren
> muss.
Ich denke, ich muss da alles ausprobieren. Anhand der Zeichnung könnte ich nichts ausschließen.
> Sagen wie du fängst zuerst mit [mm]\overline{AS}[/mm] an.
> Dann könntest du ja die Geradengleichung wie folgt
> aufstellen:
> [mm]g_1: \vec{x}=\overrightarrow{OA}+r*\overrightarrow{AS}[/mm]
Ich habe das mal aufgestellt:
[mm] g_{1}=\vec{x}=\vektor{-3 \\ -3 \\ 0}+r*\vektor{3 \\ 3 \\ 0}
[/mm]
> Wenn du die Gerade dann mit der Ebene gleichsetzt und du
> einen Wert für r rauskriegst, dann heißt das nur, dass die
> Gerade die Ebene schneidet, nicht aber, dass auch die Ebene
> durch die Kante verläuft, da die Kante ja begrenzt ist!
Ich muss dann doch die K-F der Ebene in eine Parametergleichung umwandeln, oder?
Dann hätte ich ja die Parameter [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu. [/mm] Dann müsste ich doch eigentlich den Parameter von [mm] g_{1} [/mm] in Lambda umbenennen, oder?
Und dann müsste ich doch einmal [mm] \lambda_{1} [/mm] und einmal [mm] \lambda_{2} [/mm] haben, oder?
Immerhin wäre das ja nicht das gleiche Lambda...
> Deshalb muss für r etwas bestimmtes gelten. Vielleicht hast
> du so etwas mal gemacht, wenn nicht, dann kannst du dir das
> ja mal überlegen!
Hängt das hier mit der Spitze S(0/0/9) zusammen? Ich habe keine Ahnung...
Liebe Grüße,
Sarah
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:01 Fr 13.06.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi nochmal!
[mm] g_1: \vec{x}=\vektor{-3 \\ -3 \\ 0}+r*\vektor{3 \\ 3 \\ 9} [/mm] sollte es wohl heißen :)
Wie du die Gerade und die Ebene gleichsetzt ist dann dir überlassen, du kannst die Ebene auch in der Form lassen, in der sie ist!
Dazu kannst du die Gerade in ihre Komponenten aufteilen.
[mm] x_1=-3+3r
[/mm]
[mm] x_2=-3+3r
[/mm]
[mm] x_3=9r
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] kannst du dann in die Ebene einsetzen und du erhälst dein r!
Wenn du lieber vorher umwandeln willst brauchst du 2 neue Parameter, da hast du recht, ich bevorzuge immer s und t, [mm] \lambda [/mm] ist mir nicht geheuer ;) Hauptsache du hast 3 verschiedene Parameter, einen für die Gerade, die anderen beiden für die Ebene.
Und jetzt zu der letzten Sache: Ind er Geradengleichung haben wir ja jetzt [mm] \overrightarrow{AS} [/mm] als Richtungsvektor und A istd er Aufpunkt der Geraden. Das heißt, wenn man von A aus genau einmal [mm] \overrightarrow{AS} [/mm] abträgt, kommt man zu S. Für den Fall wäre r=1.
Damit man von A zu A kommt, wäre r=0, da man ja auf dem Punkt A bleiben muss. Du landest also für Werte von r zwischen 0 und 1 (0 und 1 eingeschlossen) immer auf der relevanten Strecke [mm] \overline{AS}. [/mm] Das heißt, wenn du beim Schnitt von der Geraden und der Ebene ein r rauskriegst, was zwischen 0 und 1 liegt (0 und 1 eingeschlossen), dann liegt der Schnittpunkt auch tatsächlich auf der Strecke [mm] \overline{AS}.
[/mm]
Bekommst du stattdessen z.B. r=2 raus, dann liegt der Schnittpunkt nicht mehr auf der Strecke und kann vernachlässigt werden.
Das musst du überall bedenken!
Teufel
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