Pyramide mit innerer Kugel < Sonstiges < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:31 Mi 22.02.2012 | | Autor: | Amicus |
| Aufgabe | Gegeben sind die Punkte [mm] S_{1}(2/0/0) S_{2}(0/4/0) S_{3}(0/0/6) [/mm] und O(0/0/0). Sie wbilden die Eckpunkte eines pyramidenförmigen Hohlkörpers. Im Innern des Hohlkörpers befindet sich ein kugelförmiger Ballon.
a) Berechnen sie, bis zu welchem Radius (r) man diesen Luftballon höchstens aufblasen kann, bis er alle vier Seitenflächen der Pyramide von innen berührt!
b) Bestimmen sie die Koordinaten des Punktes T, in dem der Luftballon die Ebene E: [mm] \vektor{6 \\ 3 \\ 2}\vec{x}-12=0 [/mm] berührt. |
Hallo,
ich bin etwas ratlos, wie genau ich bei dieser Aufgabe vorgehen muss. Relativ sicher bin ich mir dabei, dass der gesuchte Punkt T irgendwo auf der Höhe der Pyramide liegen muss, weshalb ich erst einmal den Schwerpunkt des Dreiecks [mm] S(\bruch{2}{3}/\bruch{4}{3}/2) [/mm] ausgerechnet habe. Weiter weiß ich allerdings nicht und auch wie ich auf den gesuchten Radius kommen soll weiß ich leider nicht. Ich hoffe ihr könnt mir helfen!
LG
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Hallo Amicus,
> Gegeben sind die Punkte [mm]S_{1}(2/0/0) S_{2}(0/4/0) S_{3}(0/0/6)[/mm]
> und O(0/0/0). Sie wbilden die Eckpunkte eines
> pyramidenförmigen Hohlkörpers. Im Innern des Hohlkörpers
> befindet sich ein kugelförmiger Ballon.
>
> a) Berechnen sie, bis zu welchem Radius (r) man diesen
> Luftballon höchstens aufblasen kann, bis er alle vier
> Seitenflächen der Pyramide von innen berührt!
>
> b) Bestimmen sie die Koordinaten des Punktes T, in dem der
> Luftballon die Ebene E: [mm]\vektor{6 \\ 3 \\ 2}\vec{x}-12=0[/mm]
> berührt.
> Hallo,
>
> ich bin etwas ratlos, wie genau ich bei dieser Aufgabe
> vorgehen muss. Relativ sicher bin ich mir dabei, dass der
> gesuchte Punkt T irgendwo auf der Höhe der Pyramide liegen
> muss, weshalb ich erst einmal den Schwerpunkt des Dreiecks
> [mm]S(\bruch{2}{3}/\bruch{4}{3}/2)[/mm] ausgerechnet habe. Weiter
> weiß ich allerdings nicht und auch wie ich auf den
> gesuchten Radius kommen soll weiß ich leider nicht. Ich
> hoffe ihr könnt mir helfen!
Hier brauchst Du zunächst die Abstandsformel
einer Ebene von einem Punkt.
Dieser Abstand ist durch r bestimmt.
Bestimme den Abstand des Punktes T von allen 4 möglichen Ebenen.
Das ergibt dann ein Gleichungssystem aus welchem
der Punkt T und der Radius r ermittelt werden.
>
> LG
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:36 Mi 22.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
3 der Ebenen deines Tetraeders sind die Koordinatenebenen.
der mittelpunkt einer kugel, die alle 3 berührt muss welche form haben, wenn der abstand r sein soll?
die letzte ebene ist die gegebene, eine normale durche den Punkt, muss auch zu ihr den Abstand r haben.
kannst du dadurch den Mittelpunkt und damt r finden.
Ich fürchte mit dem Schwerpunkt hat das wenig zu tun, dass er zufällig rauskommt kann ich nicht ausschliessen .
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Mi 22.02.2012 | | Autor: | Amicus |
Für die Koordinaten des Mittelpunktes müsste ja dann [mm] x_{1}=x_{2}=x_{3} [/mm] gelten, weil ja der Abstand von allen Koordinatenebenen gleich sein soll, oder?
Was mach ich dann mit dieser Erkenntnis?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:52 Mi 22.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
berechne den Abstand des Punktes (r,r,r) zu der Ebene, er muss r sein!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Mi 22.02.2012 | | Autor: | Amicus |
HNF:
[mm] \bruch{1}{7}*\vektor{6\\ 3\\2}*\vec{x}-\bruch{12}{7}
[/mm]
d(R;E):
[mm] \bruch{1}{7}*\vektor{6\\ 3\\2}*\vektor{r\\r\\r}-\bruch{12}{7}
[/mm]
=> [mm] r=\bruch{12}{11}
[/mm]
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> HNF:
>
> [mm]\bruch{1}{7}*\vektor{6\\ 3\\2}*\vec{x}-\bruch{12}{7}[/mm]
>
>
> d(R;E):
>
> [mm]\bruch{1}{7}*\vektor{6\\ 3\\2}*\vektor{r\\r\\r}-\bruch{12}{7}[/mm]
>
> => [mm]r=\bruch{12}{11}[/mm]
Hallo Amicus,
wenn ich die Aufgabenstellung richtig verstanden
habe, ist die Kugel doch zunächst einmal so
definiert, dass sie die 3 Koordinatenebenen und
dazu die Ebene [mm] S_1S_2S_3 [/mm] berühren soll.
Die letztere Ebene ist eine andere als die dann
zusätzlich noch gegebene Ebene E.
Zur Bestimmung des Kugelradius braucht man
also die Ebene E nicht.
Ob die Kugel dann die Ebene E wirklich auch noch
gerade in einem (einzigen) Punkt berührt, ist
zunächst keineswegs selbstverständlich und
muss überprüft werden.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 Mi 22.02.2012 | | Autor: | Amicus |
Die Punkte [mm] S_{1} S_{2} [/mm] und [mm] S_{3} [/mm] sind die Spurpunkte der Ebene E, die Ebenen sind also identisch.
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> Die Punkte [mm]S_{1} S_{2}[/mm] und [mm]S_{3}[/mm] sind die Spurpunkte der
> Ebene E, die Ebenen sind also identisch.
Ach ja, das habe ich gar nicht gemerkt. Mir war
einfach der Normalenvektor [mm] (6|3|2)^T [/mm] aus anderem
Zusammenhang als "praktisches" Beispiel bekannt ...
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:10 Mi 22.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hab ein anderes r, aber auch ich verrechne mich, also zeig bitte deine rechnung. denk dran due suchst einen abstand r, so dass der Punkt auf derselben Seite von E liegt, wie der 0 Punkt
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Mi 22.02.2012 | | Autor: | Amicus |
HNF:
[mm] \bruch{1}{7}*\vektor{6\\3\\2}*\vektor{r\\r\\r}-\bruch{12}{7}=0
[/mm]
<=> [mm] \bruch{1}{7}*11r=\bruch{12}{7}
[/mm]
<=> 11r=12
<=> [mm] r=\bruch{12}{11}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:33 Mi 22.02.2012 | | Autor: | abakus |
> HNF:
>
> [mm]\bruch{1}{7}*\vektor{6\\
3\\
2}*\vektor{r\\
r\\
r}-\bruch{12}{7}=0[/mm]
>
> <=> [mm]\bruch{1}{7}*11r=\bruch{12}{7}[/mm]
>
> <=> 11r=12
>
> <=> [mm]r=\bruch{12}{11}[/mm]
Hallo,
Wenn man den Kugelmittelpunkt mit den Eckpunkten verbindet, entstehen 4 Pyramiden mit der jeweiligen Außenfläche der gegebenen Pyramide als Grundfläche und dem Kugelradius als Höhe.
Das (berechenbare) Gesamtvolumen ist die Summe dieser 4 Teilvolumina,
also
[mm] $V=1/3*(A_1+A_2+A_3+A_4)*r$ [/mm] und somit [mm] $r=3V/(A_1+A_2+A_3+A_4)$.
[/mm]
Das ist eine einfache Rechen- bzw. Kontrollmöglichkeit.
Gruß Abakus
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