Pythagoreische Zahlentripel < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:10 Mi 15.11.2006 | | Autor: | Ranftl |
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Erhält man mit [mm] a=k(m^2-n^2); [/mm] b=k2mn; [mm] c=k(m^2+n^2) [/mm] m>n und k,m,n natürliche Zahlen alle pythagoreischen Zahlentripel. Wie geht der Beweis?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:46 So 19.11.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo Ranftl
Ja, aber ich verzichte auf die Details:
Sei a,b,c ein solches Zahlentripel. Sei k der grösste gemeinsame Teiler von a,b,c. Dann seien a', b', c' so, dass ka'=a etc. Man überlegt sich leicht, dass dann a',b',c' ebenfalls pythagoräisches Zahlentripel ist. Weiter kann man sich überlegen, dass a', b', c' paarweise teilerfremd sind, sonst müsste wegen $a'^2+b'^2=c'^2$ ein gemeinsamer Teiler von zweien auch gemeinsamer Teiler der dritten Zahl sein, ein Widerspruch.
Weiter kann man schliessen, dass entweder a' oder b' gerade sind. Wären beide ungerade, dann müsste c' gerade sein und $c'^2$ durch 4 teilbar sein. Aber die Summe von 2 Quadraten ungerader Zahlen ist nie durch 4 teilbar. Deshalb ist a' oder b' gerade, sagen wir b' und a' ist ungerade, ebenso ist c' ungerade.
Sei daher b'=2b''. Aus $a'^2+b'^2=c'^2$ folgt [mm] $b''^2=\frac{c'+a'}{2}\cdot \frac{c'-a'}{2}$. [/mm] Weil a' und c' teilerfremd sind, müssen auch die Zahlen [mm] $x=\frac{c'+a'}{2}$ [/mm] und $y= [mm] \frac{c'-a'}{2}$ [/mm] wegen x+y=c' und x-y=a' teilerfremd sein. Das Produkt der teilerfremden Zahlen x und y kann nur dann eine Quadratzahl ($=b'^2$) sein, wenn x und y selber Quadratzahlen sind, d. h. es existieren Zahlen m und n so, dass [mm] $x=m^2$ [/mm] und [mm] $y=n^2$.
[/mm]
Einsetzen und nach a,b,c auflösen liefert das Gewünschte.
mfG Moudi
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