Q-Vektorraum < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:00 Sa 14.11.2009 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | | Fasse [mm] \IR [/mm] als [mm] \IQ-Vektorraum [/mm] auf und bestimme [mm] dim_{\IQ}\IR. [/mm] |
Ich habe so begonnen:
[mm] \IR [/mm] besitzt ja algebraische und transzendente Zahlen.
e ist eine transzendente Zahl.
Also ist {1, e, [mm] e^2,...e^n} [/mm] lin. unabh. über [mm] \IR.
[/mm]
Also muss die Gleichung
[mm] a_0+a_1*e+a_2*e^3+...+a_n*e^n=0 [/mm]
nur 0 als Lösung haben.
Ich behaupte nun, dass [mm] dim_{\IQ}\IR [/mm] endlich ist. Wie kann ich aber nun so auf einen Widerspruch kommen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:48 So 15.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Fasse [mm]\IR[/mm] als [mm]\IQ-Vektorraum[/mm] auf und bestimme
> [mm]dim_{\IQ}\IR.[/mm]
>
> Ich habe so begonnen:
>
> [mm]\IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
besitzt ja algebraische und transzendente Zahlen.
> e ist eine transzendente Zahl.
>
> Also ist {1, e, [mm]e^2,...e^n}[/mm] lin. unabh. über [mm]\IR.[/mm]
>
> Also muss die Gleichung
>
> [mm]a_0+a_1*e+a_2*e^3+...+a_n*e^n=0[/mm]
> nur 0 als Lösung haben.
>
> Ich behaupte nun, dass [mm]dim_{\IQ}\IR[/mm] endlich ist. Wie kann
> ich aber nun so auf einen Widerspruch kommen?
Lass mich raten: ihr habt das als Tipp bekommen und solltet von hier aus selber weitermachen?
Nimm doch an, dass $n = [mm] \dim_{\IQ} \IR [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] ist. Dann gibt es eine Basis der Laenge $n$, und jedes weitere Element ist dazu linear abhaengig. Nach dem obigen sind $1, e, [mm] e^2, \dots, e^{n-1}$ [/mm] linear unabheangig, also eine Basis von [mm] $\IR$ [/mm] ueber [mm] $\IQ$. [/mm] Aber was ist nun mit [mm] $e^n$? [/mm] Wenn dies eine Basis ist, kann man [mm] $e^n$ [/mm] mit $1, e, [mm] \dots, e^{n-1}$ [/mm] darstellen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:52 Mo 16.11.2009 | | Autor: | jokerose |
wir haben einfach als Tipp erhalten, dass wir eine Basis mit e basteln sollen.
Ja nun sollte ichs schaffen. Danke. 
LG jokerose
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