QG in Restklassenringen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:36 Mo 13.07.2009 | | Autor: | inris |
| Aufgabe | | In welchen Restklassenringen hat jede quadratische Gleichung höchstens 2 Lösungen? |
Hallo,
also grundsätzlich würde ich sagen, dass es die Restklassenkörper sind, bei der jede quadratische Gleichung höchstens zwei Lösungen hat! Stimmt das?
Ich kann mir dazu nicht richtig einen Beweis vorstellen. Nimmt man sich drei paarweise verschiedene Lösung für die quadratische Gleichung und bringt es zum Widerspruch?
Vielen Dank im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:39 Mo 13.07.2009 | | Autor: | statler |
> In welchen Restklassenringen hat jede quadratische
> Gleichung höchstens 2 Lösungen?
Mahlzeit!
> also grundsätzlich würde ich sagen, dass es die
> Restklassenkörper sind, bei der jede quadratische
> Gleichung höchstens zwei Lösungen hat! Stimmt das?
Da ist das jedenfalls so.
> Ich kann mir dazu nicht richtig einen Beweis vorstellen.
> Nimmt man sich drei paarweise verschiedene Lösung für die
> quadratische Gleichung und bringt es zum Widerspruch?
Wenn der Restklassenring (von [mm] \IZ) [/mm] kein Körper ist, dann hat er Nullteiler, also gibt es a und b, beide nicht 0 und voneinander verschieden, mit ab = 0. Dann hat die Gleichung (x - a)(x - b) = 0 aber 3 Lösungen.
Es gibt einen Fall, wo dieser Gedankengang nicht funktioniert, den überleg dir mal selbst.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Mi 22.07.2009 | | Autor: | inris |
Hallo!
Danke für deine Antwort!
Also, dann wäre der Fall, wo das nicht geht, der wo [mm] \IZm [/mm] mit m=Quadratzahl ist sein? Dass heißt, alle anderen haben mehr als 2 Lösungen? Aber die quadra. Gleichung [mm] x^{2.5}-2x [/mm] hat in [mm] \IZ9 [/mm] genau 3 Lösungen....
Mien Professor sgate zu mir, ich soll nacheinander die Restklassenringe ausprobieren und dann werde ich eine Regelmäßigkeit feststellen, ich weiß nur gar nicht, in welcher quadr. Gelichung ich das nun ausprobieren soll bzw. was er damit meint...?
Über eine schnelle Antwort würde ich mich sehr freuen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:13 Mi 22.07.2009 | | Autor: | statler |
Hi,
nach meiner vorigen Antwort sollte klar sein, daß in [mm] \IZ/m\IZ [/mm] jedenfalls dann quadratische Gleichungen mit 3 oder mehr Lösungen existieren, wenn m 2 voneinander verschiedene echte Teiler hat.
Wenn m eine Primzahl ist, gibt es höchstens 2 Lösungen.
Die Fälle, die bleiben, sind die Quadrate von Primzahlen, insbesondere der Fall m = 4, den müßtest du dir noch mal gesondert vornehmen. (Bei den ungeraden Primzahlen kannst du a = p und b = 2p nehmen.)
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Mi 22.07.2009 | | Autor: | inris |
| Aufgabe | Sei R ein kommutativer Ring mit Eins und [mm] 1\not=0 [/mm] und seine a,b [mm] \in [/mm] R mit [mm] a\not=0, b\not=0 [/mm] und [mm] a\not=b [/mm] und ab=0.
Man zeige, dass es eine quadratische Gleichung in R gibt, die mindestens 3 Lösungen hat. |
Hallo!
oh man, die Ringe und ich haben das wohl nicht so miteinander 
Vielen Dank! Dann hätte ich noch eine letzte Aufgabe/ein letztes Problem.
Und zwar, wenn man (x-a)(x-b)=0 betrachtet, also ähnlich wie eben. Dann ist ja klar, dass x=a, x=b Nullstellen sein können, also höchstens zwei. Da aber wie in Vorr. wieder nicht nullteilerfrei, dann würde ich ja wieder sagen, dass es u und v gibt mit u=x-a und v=x-b deren Produkt Null, wobei u,v von Null und paarweise verschieden und, aber ich dann wieder nicht weiter...
Könntest du mir da auch noch mal weiterhelfen?
Viele Grüße, ebenfalls aus dem Norden!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:07 Mi 22.07.2009 | | Autor: | SEcki |
> Sei R ein kommutativer Ring mit Eins und [mm]1\not=0[/mm] und seine
> a,b [mm]\in[/mm] R mit [mm]a\not=0, b\not=0[/mm] und [mm]a\not=b[/mm] und ab=0.
>
> Man zeige, dass es eine quadratische Gleichung in R gibt,
> die mindestens 3 Lösungen hat.
Hört sich genau nach der Lösungsmethode für obiges Problem an ...
> oh man, die Ringe und ich haben das wohl nicht so
> miteinander
Schlecht, die sind ein gewichtiges Grundkonstrukt in der Mathematik - solltest dich dran gewöhnen! 
> Und zwar, wenn man (x-a)(x-b)=0 betrachtet, also ähnlich
> wie eben. Dann ist ja klar, dass x=a, x=b Nullstellen sein
> können, also höchstens zwei.
Nein, mindestens zwei. Und es gibt noch eine offensichtlich weitere - und damit mindestens 3.
> Da aber wie in Vorr. wieder
> nicht nullteilerfrei, dann würde ich ja wieder sagen, dass
> es u und v gibt mit u=x-a und v=x-b deren Produkt Null,
> wobei u,v von Null und paarweise verschieden und, aber ich
> dann wieder nicht weiter...
Nein, a und b sind jeweils die Nuillteiler des anderen - die sind konkrekt angegeben! Was musst du in die Gleichung einsetzen, damit [m]a*b[/m] herauskommt?
> Viele Grüße, ebenfalls aus dem Norden!
Aus dem Süden,
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 Mi 22.07.2009 | | Autor: | inris |
Okay, dass heißt, da man aus der Voraussetzung weiß, dass ab=0 setzt man einfach (x-a)(x-b)=ab und dann erhält man als weitere, dritte Lösung: x=0 oder x=a+b....?
wie schön, könnte man auch selber drauf komm...muss man aber nicht
Danke dir!
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Hallo inris,
> Okay, dass heißt, da man aus der Voraussetzung weiß, dass
> ab=0 setzt man einfach (x-a)(x-b)=ab und dann erhält man
> als weitere, dritte Lösung: x=0 oder x=a+b....?
So isses.
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> wie schön, könnte man auch selber drauf komm...muss man
> aber nicht
>
> Danke dir!
Gruss
MathePower
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