QM Magnetfeld Drehimpuls < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:42 Fr 21.01.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Ich habe einen Haufen Aufgaben inkl. Lösungen ausser die folgende, zu der hab ich keine Lösung und ich komme einfach nicht so weiter. Vielleicht kann mir jemand etwas weiter helfen - wir können auch gerne zusammen dran weiterdenken falls jemand nicht gerade die ganze Lösung sieht.
Ein Wasserstoffatom befindet sich in einem Homgoenen Magnetfeld mit der Richtung [mm] \overrightarrow{B} [/mm] = [mm] (B_{x},B_{y},B_{z}).
[/mm]
Die Wirkung zwischen Magnetfeld und Elektron wird durch folgenden Hamiltonoperator beschrieben:
H = [mm] -\bruch{\mu_{B}*2*\pi}{h}*\overrightarrow{L}*\overrightarrow{B}
[/mm]
L ist Drehimpulsoperator, [mm] \mu_{B} [/mm] das Bohrsche Magneton. Der Spin des Elektrons ist hier unwichtig.
Man betrachtet das Elektron mit Energieniveau n = 3.
1.) Wie gross ist die Entartung der Zustände n = 3 für B = 0.
Antwort: 9
Und jetzt haperts:
2.) Berechne die möglichen Messwerte der Komponente von [mm] \overrightarrow{L} [/mm] entlang [mm] \overrightarrow{B}.
[/mm]
3.) Berechne die Eigenwerte von H im Unterraum der Zustände mit n = 3, B [mm] \not= [/mm] 0
4.)Gebe für jeden Energieeigenwert im Fall B [mm] \not= [/mm] 0 den Grad der Entartung an.
Die Messwerte sind doch die Eigenwerte. Ich sehe nicht wirklich die Unterschiede von Teilaufgabe 2. 3. und 4.
[mm] -\bruch{\mu_{B}*2*\pi}{h}*\overrightarrow{L}*\overrightarrow{B} [/mm] = [mm] E*\overrightarrow{L}, [/mm] oder?
Und jetzt den Eigenwert finden...so ist der einfach gleich [mm] -\bruch{\mu_{B}*2*\pi}{h}*\overrightarrow{B} [/mm] ???
Hier noch der Zusammenhang für die Drehimpuslquantenzahl l und den Drehimpuls (vielleicht hilft das was):
[mm] (L_{op})^{2} Y(\phi,\teta) [/mm] = [mm] (\bruch{h}{2*\pi})^{2}*l*(l+1)*Y(\phi,\teta)
[/mm]
Gruss&Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:38 Sa 22.01.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
>
> Ich habe einen Haufen Aufgaben inkl. Lösungen ausser die
> folgende, zu der hab ich keine Lösung und ich komme
> einfach nicht so weiter. Vielleicht kann mir jemand etwas
> weiter helfen - wir können auch gerne zusammen dran
> weiterdenken falls jemand nicht gerade die ganze Lösung
> sieht.
>
> Ein Wasserstoffatom befindet sich in einem Homgoenen
> Magnetfeld mit der Richtung [mm]\overrightarrow{B}[/mm] =
> [mm](B_{x},B_{y},B_{z}).[/mm]
> Die Wirkung zwischen Magnetfeld und Elektron wird durch
> folgenden Hamiltonoperator beschrieben:
> H =
> [mm]-\bruch{\mu_{B}*2*\pi}{h}*\overrightarrow{L}*\overrightarrow{B}[/mm]
>
> L ist Drehimpulsoperator, [mm]\mu_{B}[/mm] das Bohrsche Magneton.
> Der Spin des Elektrons ist hier unwichtig.
> Man betrachtet das Elektron mit Energieniveau n = 3.
>
> 1.) Wie gross ist die Entartung der Zustände n = 3 für B
> = 0.
> Antwort: 9
>
> Und jetzt haperts:
> 2.) Berechne die möglichen Messwerte der Komponente von
> [mm]\overrightarrow{L}[/mm] entlang [mm]\overrightarrow{B}.[/mm]
> 3.) Berechne die Eigenwerte von H im Unterraum der
> Zustände mit n = 3, B [mm]\not=[/mm] 0
> 4.)Gebe für jeden Energieeigenwert im Fall B [mm]\not=[/mm] 0 den
> Grad der Entartung an.
>
>
> Die Messwerte sind doch die Eigenwerte. Ich sehe nicht
> wirklich die Unterschiede von Teilaufgabe 2. 3. und 4.
In 2. geht es um die Erwartungswerte der Drehimpulskomponente parallel zu [mm] $\vec [/mm] B$, in 3. um die Erwartungswerte des Hamiltonoperators.
>
> [mm]-\bruch{\mu_{B}*2*\pi}{h}*\overrightarrow{L}*\overrightarrow{B}[/mm]
> = [mm]E*\overrightarrow{L},[/mm] oder?
> Und jetzt den Eigenwert finden...so ist der einfach gleich
> [mm]-\bruch{\mu_{B}*2*\pi}{h}*\overrightarrow{B}[/mm] ???
Nein. Löse erst einmal die Teilaufgabe 2, in der es nur um eine Komponente von [mm] $\vec [/mm] L$ geht, da kann weder die Stärke des Magnetfeldes noch das Bohrsche Magneton vorkommen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Sa 22.01.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo Rainer,
Danke sehr für die Antwort. Dein letzter Satz war hilfreich.
In 2. geht es also eigentlich unabhängig vom Magnetfeld - ausser der Richtungsangabe spielt es hier keine Rolle.
Hm ich bin nicht ganz sicher aber da die Richtungskomponente frei Wählbar ist bzw. die Rotationssymetrie des Raumes bzw. man das Koordinatensystem ja quasi so um das Magnetfeld drehen könnte das B = [mm] B_{z} [/mm] und man ja das so normiert festgelegt hat dass [mm] L_{z} [/mm] mit der Magnetrichtung "korespondiert" ...so dass [mm] L_{z}*Y_{m,l} [/mm] = [mm] \bruch{h}{2*\pi}*m_{l}*Y_{m,l} [/mm] benutzt werden kann?
Die Erwartungswerte sind also im Fall n = 3 wo l = 0,1,2 sein kann somit -l,...,0,...,l multipliziert mit [mm] \bruch{h}{2*\pi}.
[/mm]
Zu 3.:
Da L und B parallel sind kann man die Vektoren mal vernachlässigen und H = [mm] -\bruch{\mu_{B}\cdot{}2\cdot{}\pi}{h}\cdot{}\overrightarrow{L}\cdot{}\overrightarrow{B} [/mm] = [mm] -\bruch{\mu_{B}\cdot{}2\cdot{}\pi}{h}\cdot{}L\cdot{}B [/mm] schreiben.
Und jetzt einfach so:
[mm] -\bruch{\mu_{B}\cdot{}2\cdot{}\pi}{h}\cdot{}L\cdot{}B*Y(\phi,\theta) [/mm] = [mm] E*Y(\phi,\theta)
[/mm]
...hmmm...ich glaub das ists noch nicht das wäre etwas zu einfach. Ich überleg noch dran. Jedoch belasse ich es jetzt mal so und warte auf eine Antwort da ich im Moment Stress auf die Prüfungen hab; )
Edit: Ach das ist ja nicht L eigentlich ist es [mm] L_{op}. [/mm] D.h.
[mm] -\bruch{\mu_{B}\cdot{}2\cdot{}\pi}{h}\cdot{}B\cdot{}L_{op}*Y(\phi,\theta) [/mm]
= [mm] -\bruch{\mu_{B}\cdot{}2\cdot{}\pi}{h}\cdot{}B_{z}*\cdot{}L_{op}*Y(\phi,\theta) [/mm]
= [mm] -\bruch{\mu_{B}\cdot{}2\cdot{}\pi}{h}\cdot{}B_{z}\cdot{}L_{op, z}*Y(\phi,\theta) [/mm]
= [mm] -\bruch{\mu_{B}\cdot{}2\cdot{}\pi}{h}\cdot{}B_{z}\cdot{}\bruch{h}{2*\pi}*m_{l}*Y(m,l)
[/mm]
= E*Y(m,l)
E = [mm] -\bruch{\mu_{B}\cdot{}2\cdot{}\pi}{h}\cdot{}B_{z}\cdot{}\bruch{h}{2*\pi}*m_{l} [/mm] = [mm] -\mu_{B}*B_{z}*m_{l}
[/mm]
Die Entartung wäre dann für
E = 0 drei.
E = [mm] +-\mu_{B}*B_{z} [/mm] zwei.
E = [mm] +-\mu_{B}*B_{z}*2 [/mm] eins.
?
Gruss!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:39 Di 25.01.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Kann mir bitte jemand noch hier antworten?
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:29 Mi 26.01.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo Rainer,
>
> Danke sehr für die Antwort. Dein letzter Satz war
> hilfreich.
> In 2. geht es also eigentlich unabhängig vom Magnetfeld -
> ausser der Richtungsangabe spielt es hier keine Rolle.
> Hm ich bin nicht ganz sicher aber da die
> Richtungskomponente frei Wählbar ist bzw. die
> Rotationssymetrie des Raumes bzw. man das Koordinatensystem
> ja quasi so um das Magnetfeld drehen könnte das B = [mm]B_{z}[/mm]
> und man ja das so normiert festgelegt hat dass [mm]L_{z}[/mm] mit
> der Magnetrichtung "korespondiert" ...so dass [mm]L_{z}*Y_{m,l}[/mm]
> = [mm]\bruch{h}{2*\pi}*m_{l}*Y_{m,l}[/mm] benutzt werden kann?
> Die Erwartungswerte sind also im Fall n = 3 wo l = 0,1,2
> sein kann somit -l,...,0,...,l multipliziert mit
> [mm]\bruch{h}{2*\pi}.[/mm]
Das kannst du so machen, das Ergebnis ist unabhängig von der Wahl des Koordinatensystems. Die möglichen Messwerte der festgelegten Drehimpulskomponente sind, wie du schreibst, [mm] $-l\hbar,\dots,0,\dots,+l\hbar$, [/mm] wobei [mm] $0\le [/mm] l< n$.
>
> Zu 3.:
> Da L und B parallel sind kann man die Vektoren mal
> vernachlässigen und H =
> [mm]-\bruch{\mu_{B}\cdot{}2\cdot{}\pi}{h}\cdot{}\overrightarrow{L}\cdot{}\overrightarrow{B}[/mm]
> = [mm]-\bruch{\mu_{B}\cdot{}2\cdot{}\pi}{h}\cdot{}L\cdot{}B[/mm]
> schreiben.
> Und jetzt einfach so:
>
> [mm]-\bruch{\mu_{B}\cdot{}2\cdot{}\pi}{h}\cdot{}L\cdot{}B*Y(\phi,\theta)[/mm]
> = [mm]E*Y(\phi,\theta)[/mm]
> ...hmmm...ich glaub das ists noch nicht das wäre etwas zu
> einfach. Ich überleg noch dran. Jedoch belasse ich es
> jetzt mal so und warte auf eine Antwort da ich im Moment
> Stress auf die Prüfungen hab; )
> Edit: Ach das ist ja nicht L eigentlich ist es [mm]L_{op}.[/mm]
> D.h.
>
> [mm]-\bruch{\mu_{B}\cdot{}2\cdot{}\pi}{h}\cdot{}B\cdot{}L_{op}*Y(\phi,\theta)[/mm]
> =
> [mm]-\bruch{\mu_{B}\cdot{}2\cdot{}\pi}{h}\cdot{}B_{z}*\cdot{}L_{op}*Y(\phi,\theta)[/mm]
> =
> [mm]-\bruch{\mu_{B}\cdot{}2\cdot{}\pi}{h}\cdot{}B_{z}\cdot{}L_{op, z}*Y(\phi,\theta)[/mm]
> =
> [mm]-\bruch{\mu_{B}\cdot{}2\cdot{}\pi}{h}\cdot{}B_{z}\cdot{}\bruch{h}{2*\pi}*m_{l}*Y(m,l)[/mm]
> = E*Y(m,l)
> E =
> [mm]-\bruch{\mu_{B}\cdot{}2\cdot{}\pi}{h}\cdot{}B_{z}\cdot{}\bruch{h}{2*\pi}*m_{l}[/mm]
> = [mm]-\mu_{B}*B_{z}*m_{l}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Die Entartung wäre dann für
> E = 0 drei.
> [mm]E = +-\mu_{B}*B_{z}[/mm] zwei.
> [mm]E = +-\mu_{B}*B_{z}*2[/mm] eins.
>
> ?
Auch richtig. Stimmt auch überein mit der Gesamtzahl der Drehimpulszustände: einen für l=0, drei für l=1 und fünf für l=2.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:56 Mi 26.01.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Danke dir!
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