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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:34 So 14.10.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | | Jede invertierbare Matrix A [mm] \in GL_n (\IC) [/mm] lässt sich auf eindeutige Weise in der Fom A = QR schreiben wobei Q [mm] \in U_n [/mm] und [mm] R\in M_{n \times n} (\IC) [/mm] eine (invertierbare) obere Dreiecksmatriz mit positiven (reellen) Diagonaleinträgen. |
Hallo
Mir ist die Eindeutigkeit der Zerlegung nicht klar!!
Sei [mm] Q_1 R_1 [/mm] = [mm] Q_2 R_2 [/mm] wobe [mm] Q_1 [/mm] , [mm] Q_2 \in U_n [/mm] und [mm] R_1 [/mm] und [mm] R_2 [/mm] obere Dreiecksmatrizen mit positiven Diagonaleinträgen sind.
ZuZeigen: [mm] Q_1 [/mm] = [mm] Q_2 [/mm] , [mm] R_1 [/mm] = [mm] R_2
[/mm]
Es gilt ja R = Q
mit Q:= [mm] (Q_2)^{-1} Q_1 \in U_n [/mm] =>Untergruppenkriterium
und R:= [mm] R_2 (R_1)^{-1} [/mm] eine obere Dreiecksmatrix mit positiven reellen Diagonaleinträgen ist. => Untegruppenkriterium
Ich habe nun [mm] R^{\*} [/mm] R = [mm] Q^{\*} [/mm] Q [mm] =I_n
[/mm]
also [mm] R^{\*} [/mm] = [mm] R^{-1}
[/mm]
genügt ZuZeigen: Q= [mm] I_n [/mm] = R
[mm] R^{\*} [/mm] R = [mm] I_n [/mm] d.h alle Diagonaleinträge= |1|
Den Schluss schaffe ich nicht ;/
Liebe Grüße,danke
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Hallo,
aus Q = R folgt, dass Q eine obere Dreiecksmatrix ist.
Aber Q ist eine unitäre Matrix. Das ist möglich nur, wenn Q ist eine Diagonalmatrix.
Also Q ist eine unitäre Diagonalmatrix : Q* Q = Q Q = I (weil Q*=Q für Diagonalmatrix).
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