QR-Zerlegung mit Householder < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 Mo 14.11.2011 | | Autor: | jebote |
| Aufgabe | Betrachten Sie die Matrix A = [mm] \pmat{ -2 & 1 \\ 0 & 2 \\ 1 & -1 \\ 2 & 0 }
[/mm]
Berechnen sie mit Hilfe von Householder-Spiegelungen die QR-Zerlegung von A und geben sie dabei alle Zwischenschritte an. |
Die Schritte sind mir bewusst, aber beim zweiten Spiegeln kommen sehr komplizierte Werte, die mich irritieren.
[mm] a_{1}=\vektor{-2 \\ 0 \\ 1 \\ 2}
[/mm]
[mm] v_{1}=a_{1} [/mm] + [mm] sign(a_{11}) \cdot ||a_{1}|| \cdot e_{1}
[/mm]
[mm] v_{1}=\vektor{-2 \\ 0 \\ 1 \\ 2} [/mm] - 3 [mm] \cdot \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] v_{1}=\vektor{-2 \\ 0 \\ 1 \\ 2} [/mm] + [mm] \cdot \vektor{-3 \\ 0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] v_{1}=\vektor{-5 \\ 0 \\ 1 \\ 2}
[/mm]
[mm] v_{1} \cdot v_{1}^{T}= \vektor{-5 \\ 0 \\ 1 \\ 2} \cdot \vektor{-5 & 0 & 1 & 2} [/mm] = [mm] \pmat{ 25 & 0 & -5 & -10 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 1 & 2 \\ -10 & 0 & 2 & 4}
[/mm]
[mm] v_{1}^{T} \cdot v_{1} [/mm] =30
[mm] T_{v_{1}}=I [/mm] - [mm] \bruch{2}{v_{1}^{T} \cdot v_{1}} \cdot v_{1} \cdot v_{1}^{T}= \pmat{1 & 0 &0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{15} \pmat{ 25 & 0 & -5 & -10 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 1 & 2 \\ -10 & 0 & 2 & 4} [/mm] = [mm] \pmat{-\bruch{2}{3} & 0 & \bruch{1}{3} & -\bruch{2}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \bruch{1}{3} & 0 & \bruch{14}{15} &-\bruch{2}{15} \\ \bruch{2}{3} & 0 & -\bruch{2}{15} & \bruch{11}{15}}
[/mm]
[mm] T_{v_{1}} \cdot [/mm] A = [mm] \pmat{ 3 & -1 \\ 0 & 2 \\ 0 & -\bruch{3}{5} \\ 0 & \bruch{4}{5} }
[/mm]
So und jetzt das gleiche mit der zweiten Spalte, wobei man jetzt nur die Einträge nimmt, die Null gesetzt werden sollen und der 1. Eintrag, der nicht Null gesetzt werden soll, über denen, die Null gesetzt werden.
[mm] a_{2}=\vektor{2 \\ -\bruch{3}{5} \\ \bruch{4}{5} }
[/mm]
[mm] v_{2}=a_{2} [/mm] + [mm] sign(a_{22}) \cdot ||a_{2}|| \cdot e_{1}
[/mm]
[mm] v_{2}=\vektor{ 2 \\ -\bruch{3}{5} \\ \bruch{4}{5} } [/mm] + [mm] (\wurzel{5} \cdot \vektor{1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] v_{2}=\vektor{ 2 \\ -\bruch{3}{5} \\ \bruch{4}{5} } [/mm] + [mm] \cdot \vektor{\wurzel{5} \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
[mm] v_{2}=\vektor{2+\wurzel{5} \\ -\bruch{3}{5} \\ \bruch{4}{5} }
[/mm]
Und hier die Frage, habe ich was falsch gemacht oder übersehen/vergessen?
Denn die weitere Rechnung damit wird seeehr sehr unschön und zudem stimmt es bei der Probe nicht!
Danke euch im voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo jebote,
> Betrachten Sie die Matrix A = [mm]\pmat{ -2 & 1 \\ 0 & 2 \\ 1 & -1 \\ 2 & 0 }[/mm]
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> Berechnen sie mit Hilfe von Householder-Spiegelungen die
> QR-Zerlegung von A und geben sie dabei alle
> Zwischenschritte an.
> Die Schritte sind mir bewusst, aber beim zweiten Spiegeln
> kommen sehr komplizierte Werte, die mich irritieren.
> [mm]a_{1}=\vektor{-2 \\ 0 \\ 1 \\ 2}[/mm]
> [mm]v_{1}=a_{1}[/mm] +
> [mm]sign(a_{11}) \cdot ||a_{1}|| \cdot e_{1}[/mm]
> [mm]v_{1}=\vektor{-2 \\ 0 \\ 1 \\ 2}[/mm]
> - 3 [mm]\cdot \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> [mm]v_{1}=\vektor{-2 \\ 0 \\ 1 \\ 2}[/mm]
> + [mm]\cdot \vektor{-3 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> [mm]v_{1}=\vektor{-5 \\ 0 \\ 1 \\ 2}[/mm]
>
> [mm]v_{1} \cdot v_{1}^{T}= \vektor{-5 \\ 0 \\ 1 \\ 2} \cdot \vektor{-5 & 0 & 1 & 2}[/mm]
> = [mm]\pmat{ 25 & 0 & -5 & -10 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 1 & 2 \\ -10 & 0 & 2 & 4}[/mm]
>
> [mm]v_{1}^{T} \cdot v_{1}[/mm] =30
> [mm]T_{v_{1}}=I[/mm] - [mm]\bruch{2}{v_{1}^{T} \cdot v_{1}} \cdot v_{1} \cdot v_{1}^{T}= \pmat{1 & 0 &0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}[/mm]
> - [mm]\bruch{1}{15} \pmat{ 25 & 0 & -5 & -10 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 1 & 2 \\ -10 & 0 & 2 & 4}[/mm]
> = [mm]\pmat{-\bruch{2}{3} & 0 & \bruch{1}{3} & -\bruch{2}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \bruch{1}{3} & 0 & \bruch{14}{15} &-\bruch{2}{15} \\ \bruch{2}{3} & 0 & -\bruch{2}{15} & \bruch{11}{15}}[/mm]
>
> [mm]T_{v_{1}} \cdot[/mm] A = [mm]\pmat{ 3 & -1 \\ 0 & 2 \\ 0 & -\bruch{3}{5} \\ 0 & \bruch{4}{5} }[/mm]
>
> So und jetzt das gleiche mit der zweiten Spalte, wobei man
> jetzt nur die Einträge nimmt, die Null gesetzt werden
> sollen und der 1. Eintrag, der nicht Null gesetzt werden
> soll, über denen, die Null gesetzt werden.
>
> [mm]a_{2}=\vektor{2 \\ -\bruch{3}{5} \\ \bruch{4}{5} }[/mm]
>
> [mm]v_{2}=a_{2}[/mm] + [mm]sign(a_{22}) \cdot ||a_{2}|| \cdot e_{1}[/mm]
>
> [mm]v_{2}=\vektor{ 2 \\ -\bruch{3}{5} \\ \bruch{4}{5} }[/mm] +
> [mm](\wurzel{5} \cdot \vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> [mm]v_{2}=\vektor{ 2 \\ -\bruch{3}{5} \\ \bruch{4}{5} }[/mm]
> + [mm]\cdot \vektor{\wurzel{5} \\ 0 \\ 0 }[/mm]
>
> [mm]v_{2}=\vektor{2+\wurzel{5} \\ -\bruch{3}{5} \\ \bruch{4}{5} }[/mm]
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> Und hier die Frage, habe ich was falsch gemacht oder
> übersehen/vergessen?
> Denn die weitere Rechnung damit wird seeehr sehr unschön
> und zudem stimmt es bei der Probe nicht!
>
Bis hierhin stimmt Deine Rechnung.
> Danke euch im voraus.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:02 Mi 16.11.2011 | | Autor: | jebote |
Hatte den Fehler entdeckt, habe die eins von der Einheitsmatrix bei der folgenden Rechnung vergessen zu addieren.
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