Q dicht in R < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:57 Di 07.05.2013 | | Autor: | kRAITOS |
| Aufgabe | Das Archimedes-Axiom besagt, dass es für jedes x [mm] \in [/mm] R eine naturliche Zahl n [mm] \in [/mm] N mit n ≥ x gibt.
Zeigen Sie unter Annahme des Archimedes-Axioms, dass Q dicht in R liegt, d.h., zu a, b [mm] \in [/mm] R mit a < b gibt es ein r [mm] \in [/mm] Q mit a < r < b. |
Hallo.
Es soll gelten, dass a < r < b.
Hab das jetzt mit ein paar Zahlenbeispielen gemacht und kam zu dem Ergebnis, dass das immer gilt, wenn
r= [mm] \bruch{a+b}{2}
[/mm]
Doch wie verallgemeinere ich diese Erkenntnis?
LG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:27 Di 07.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Das Archimedes-Axiom besagt, dass es für jedes x [mm]\in[/mm] R
> eine naturliche Zahl n [mm]\in[/mm] N mit n ≥ x gibt.
>
> Zeigen Sie unter Annahme des Archimedes-Axioms, dass Q
> dicht in R liegt, d.h., zu a, b [mm]\in[/mm] R mit a < b gibt es ein
> r [mm]\in[/mm] Q mit a < r < b.
> Hallo.
>
> Es soll gelten, dass a < r < b.
>
> Hab das jetzt mit ein paar Zahlenbeispielen gemacht und kam
> zu dem Ergebnis, dass das immer gilt, wenn
>
> r= [mm]\bruch{a+b}{2}[/mm]
das wird i.a. keine rationale Zahl sein. Schau' mal in ![[]](/images/popup.gif) Satz 3.23
und imitiere diesen Beweis, indem Du bei Dir [mm] $x=a\,$ [/mm] und [mm] $\varepsilon=b-a>0$ [/mm]
betrachtest.
(D.h.: Es seien $a,b [mm] \in \IR$ [/mm] mit $a < [mm] b\,.$ [/mm] Zu [mm] $\varepsilon:=b-a [/mm] > 0$ existiert ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $\tfrac{1}{n} \le \varepsilon\,.$ [/mm]
Dann ist [mm] $\tfrac{1}{n+1} [/mm] < [mm] \varepsilon\,.$ [/mm] Mit [mm] $g:=[(n+1)*\red{\;a\;}],\,$ [/mm] wobei $[ t [mm] ]:=\max\{z \in \IZ:\;\; z \le t\}$ [/mm] die Gaußklammer
von [mm] $t\,$ [/mm] bezeichne, gilt
[mm] $$\{g,g+1\} \subseteq \red{\;\IZ\;}\;\;\; \text{ und }\;\;\;g \le (n+1)*\red{\;a\;} [/mm] < [mm] g+1\,.$$
[/mm]
Also folgt...)
(Edit: Achtung: Korrekturen vorgenommen!)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 Di 07.05.2013 | | Autor: | kRAITOS |
> das wird i.a. keine rationale Zahl sein. Schau' mal in
> Satz 3.23
>
> und imitiere diesen Beweis, indem Du bei Dir [mm]x=a\,[/mm] und
> [mm]\varepsilon=b-a>0[/mm]
> betrachtest.
>
> (D.h.: Es seien [mm]a,b \in \IR[/mm] mit [mm]a < b\,.[/mm] Zu
> [mm]\varepsilon:=b-a > 0[/mm] existiert ein [mm]n \in \IN[/mm] mit
> [mm]\tfrac{1}{n} \le \varepsilon\,.[/mm]
> Dann ist [mm]\tfrac{1}{n+1} < \varepsilon\,.[/mm] Mit
> [mm]g:=[(n+1)*\red{\;a\;}],\,[/mm] wobei [mm][ t ]:=\max\{z \in \IZ:\;\; z \le t\}[/mm]
> die Gaußklammer
> von [mm]t\,[/mm] bezeichne, gilt
> [mm]\{g,g+1\} \subseteq \red{\;\IZ\;}\;\;\; \text{ und }\;\;\;g \le (n+1)*\red{\;a\;} < g+1\,.[/mm]
>
> Also folgt...)
Keine Ahnung was folgt. Ich seh da nicht wirklich durch, sorry...
Zuerst hatte ich nur a,b,r als Elemente und nun sind da doch ein paar mehr dazu gekommen.
Ist [mm] \varepsilon [/mm] einfach nur die Bezeichnung für b-a > 0 oder steckt da mehr bedeutung hinter?
Und woher kommt das
[mm] g:=[(n+1)*\red{\;a\;}],
[/mm]
Sorry für wohlmöglich dumme Fragen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:45 Di 07.05.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] \epsilon [/mm] ist nur eine kurzschreibweise fuer b-a nd deutet an, dass a und b sehr nahe aneinander liegen koennten.
g steht fuer ganze Zahl, du brauchst ja eine rationale Zahl, d.h. den Quotient von 2 ganzen Zahlen.
Und hast du den ziterten Beweis denn nachgelesen? Dann allerdings wuesstest du warum das [mm] \epsilon.
[/mm]
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:07 Di 07.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Kraitos,
Leduart sagte ja eigentlich schon alles!
> > das wird i.a. keine rationale Zahl sein. Schau' mal in
> > Satz 3.23
>
> >
> > und imitiere diesen Beweis, indem Du bei Dir [mm]x=a\,[/mm] und
> > [mm]\varepsilon=b-a>0[/mm]
> > betrachtest.
> >
> > (D.h.: Es seien [mm]a,b \in \IR[/mm] mit [mm]a < b\,.[/mm] Zu
> > [mm]\varepsilon:=b-a > 0[/mm] existiert ein [mm]n \in \IN[/mm] mit
> > [mm]\tfrac{1}{n} \le \varepsilon\,.[/mm]
> > Dann ist [mm]\tfrac{1}{n+1} < \varepsilon\,.[/mm] Mit
> > [mm]g:=[(n+1)*\red{\;a\;}],\,[/mm] wobei [mm][ t ]:=\max\{z \in \IZ:\;\; z \le t\}[/mm]
> > die Gaußklammer
> > von [mm]t\,[/mm] bezeichne, gilt
> > [mm]\{g,g+1\} \subseteq \red{\;\IZ\;}\;\;\; \text{ und }\;\;\;g \le (n+1)*\red{\;a\;} < g+1\,.[/mm]
>
> >
> > Also folgt...)
>
>
> Keine Ahnung was folgt. Ich seh da nicht wirklich durch,
> sorry...
Das ist REINES IMITIEREN des dortigen Beweises! Mach' Dir mal 'ne
Skizze am Zahlenstrahl...
> Zuerst hatte ich nur a,b,r als Elemente und nun sind da
> doch ein paar mehr dazu gekommen.
Nein, ich habe nur Bezeichnungen angepasst!
> Ist [mm]\varepsilon[/mm] einfach nur die Bezeichnung für b-a > 0
> oder steckt da mehr bedeutung hinter?
Naja, [mm] $\varepsilon$ [/mm] benutzt man meistens, wenn man sich erinnern will,
dass das Ding $> [mm] 0\,$ [/mm] ist (und meistens ist das dann so, wie Leduart
sagte, dass [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ auch sehr klein sein möge, weil einen sowas
dann nur noch interessiert... aber das brauchen wir hier nicht)!
Also ja: Mehr als [mm] $\varepsilon:=b-a [/mm] > 0 [mm] \iff [/mm] a < b$ steckt da nicht dahinter. Aber
das wird ja verwendet (beim Schritt mit dem archimedischen Axiom)!
> Und woher kommt das
>
> [mm]g:=[(n+1)*\red{\;a\;}],[/mm]
Imitiere den Beweis. Auch, wenn da nicht explizit die Gaußklammer drin
steht, aber ich habe dieses [mm] $g\,$ [/mm] mit der Gaußklammer halt "etwas griffiger"
gemacht! Und wenn ich was definiere, dann kommt's von mir. 
Vielleicht hilft's Dir ja, wenn ich sage:
Es ist für [mm] $z_0 \in \IZ$ [/mm] halt [mm] $z_0=[ [/mm] t ]$ [mm] $\iff$ $z_0 \le [/mm] t < [mm] z_0+1\,.$ ($\iff [/mm] t [mm] \in [z_0,\;z_0+1)\,.$)
[/mm]
(Gib' auch mal hier (klick!) für f(x) den Ausdruck floor(x) ein
und schau' Dir den Plot an! (Bei anderen Plottern geht auch gauss(x) oder
sowas...))
> Sorry für wohlmöglich dumme Fragen...
Dumme Fragen gibt's nicht, nur erwartest Du jetzt durch kurzes Überfliegen
der Antwort die Musterlösung zu haben und zu verstehen. So läuft das
nicht, Du musst Dich da schon durcharbeiten. (Das hier ist noch ein "Mini-
Beweis"!)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 Mi 08.05.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Ich versuche jetzt mal, den Beweis zu imitieren und so langsam verstehe ich auch die ganzen "neuen" Bezeichnungen, die ja eigentlich gar keine neuen sind. 
Es seien a,b [mm] \in [/mm] \ IR mit a < b. Zudem existiert ein r [mm] \in [/mm] Q, sodass gilt: a<r<b bzw. [mm] a
Zu [mm] \varepsilon:=b-a [/mm] > 0 existiert ein q [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] \tfrac{1}{n} \le \varepsilon\.
[/mm]
Dann ist [mm] \tfrac{1}{q+1} [/mm] < [mm] \varepsilon\,.
[/mm]
Ist p [mm] \in [/mm] Z so, dass p-1 [mm] \le [/mm] aq < p, so folgt:
p-1 [mm] \le [/mm] ap < p Dann dividieren der Ungleichung durch q
[mm] \bruch{p-1}{q} \le [/mm] a < [mm] \bruch{p}{q}
[/mm]
Doch wie genau komme ich jetzt von hier nach
a < [mm] \bruch{p}{q} [/mm] - [mm] \bruch{p-1}{q} [/mm] + [mm] \bruch{1}{q} [/mm] < [mm] a+\varepsilon
[/mm]
[mm] \bruch{1}{q} [/mm] < [mm] a+\varepsilon [/mm] ist mir klar, da ja [mm] \bruch{1}{q} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] sein soll.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:54 Mi 08.05.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Eigentlich sollte das ein Fragepost werden... Sorry.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:29 Mi 08.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich versuche jetzt mal, den Beweis zu imitieren und so
> langsam verstehe ich auch die ganzen "neuen" Bezeichnungen,
> die ja eigentlich gar keine neuen sind.
>
>
>
> Es seien a,b [mm]\in[/mm] \ IR mit a < b. Zudem existiert ein r
> [mm]\in[/mm] Q, sodass gilt: a<r<b bzw. [mm]a
> Zu [mm]\varepsilon:=b-a[/mm] > 0 existiert ein q [mm]\in \IN[/mm] mit
> [mm]\tfrac{1}{n} \le \varepsilon\.[/mm]
wenn Du das [mm] $n\,$ [/mm] im Folgenden unten so benutzen willst, dann sollte [mm] $\tfrac{1}{n-1} \le \varepsilon$ [/mm] sein.
Denn Du willst später - bei dieser Fassung - ja [mm] $\tfrac{1}{n} \textbf{\red{\;<\;}} \varepsilon$ [/mm] verwenden. (Man könnte
auch eine andere Stelle in Deinem Beweis anpassen, aber das wird dann
reines Wirrwarr, wenn ich die nun auch noch erwähne...)
Wenn Du bei mir reinguckst, siehst Du auch, dass ich da mit [mm] $n+1\,$ [/mm] gearbeitet
hatte...
> Dann ist [mm]\tfrac{1}{q+1}[/mm] < [mm]\varepsilon\,.[/mm]
Öhem: Bei Dir ist [mm] $q=n\,,$ [/mm] oder?!
> Ist p [mm]\in[/mm] Z so, dass p-1 [mm]\le[/mm] aq < p, so folgt:
>
> p-1 [mm]\le[/mm] ap < p Dann dividieren der Ungleichung durch
> q
Beachte $q=n > [mm] 0\,.$
[/mm]
> [mm]\blue{\bruch{p-1}{q} \le a < \bruch{p}{q}}[/mm]
>
>
> Doch wie genau komme ich jetzt von hier nach
>
>
> $a < [mm] \red{\bruch{p}{q} - \bruch{p-1}{q} + \bruch{1}{q}}$ [/mm]
> < [mm]a+\varepsilon[/mm]
Na, $a < [mm] \frac{p}{q}$ [/mm] steht doch gerade in der blaumarkierten Ungleichungskette!
Und warum Du da "sowas komisches nach dem ersten ${a [mm] \;<\;\,...}$" [/mm] stehen hast
(rotmarkiert), ist mir nicht klar:
Wie gesagt, es ist $a < [mm] \frac{p}{q}\,$ [/mm] klar (s.o.). Dann folgt
$$a < [mm] \frac{p}{q}=\frac{p}{q}-\frac{1}{q}+\frac{1}{q}=\frac{p-1}{q}+\frac{1}{q}$$
[/mm]
Und jetzt kannst Du wieder in die blaue Ungleichungskette gucken und
weiterrechnen!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 Do 09.05.2013 | | Autor: | kRAITOS |
> Hallo,
>
> > Ich versuche jetzt mal, den Beweis zu imitieren und so
> > langsam verstehe ich auch die ganzen "neuen" Bezeichnungen,
> > die ja eigentlich gar keine neuen sind.
> >
> >
> >
> > Es seien a,b [mm]\in[/mm] \ IR mit a < b. Zudem existiert ein r
> > [mm]\in[/mm] Q, sodass gilt: a<r<b bzw. [mm]a
> > Zu [mm]\varepsilon:=b-a[/mm] > 0 existiert ein q [mm]\in \IN[/mm] mit
> > [mm]\tfrac{1}{n} \le \varepsilon\.[/mm]
>
> wenn Du das [mm]n\,[/mm] im Folgenden unten so benutzen willst, dann
> sollte [mm]\tfrac{1}{n-1} \le \varepsilon[/mm] sein.
> Denn Du willst später - bei dieser Fassung - ja
> [mm]\tfrac{1}{n} \textbf{\red{\;<\;}} \varepsilon[/mm] verwenden.
> (Man könnte
> auch eine andere Stelle in Deinem Beweis anpassen, aber das
> wird dann
> reines Wirrwarr, wenn ich die nun auch noch erwähne...)
> Wenn Du bei mir reinguckst, siehst Du auch, dass ich da
> mit [mm]n+1\,[/mm] gearbeitet
> hatte...
>
> > Dann ist [mm]\tfrac{1}{q+1}[/mm] < [mm]\varepsilon\,.[/mm]
>
> Öhem: Bei Dir ist [mm]q=n\,,[/mm] oder?!
Ja sorry, hab das einmal so und einmal so geschrieben. Also q=n!
> > Ist p [mm]\in[/mm] Z so, dass p-1 [mm]\le[/mm] aq < p, so folgt:
> >
> > p-1 [mm]\le[/mm] ap < p Dann dividieren der Ungleichung durch
> > q
>
> Beachte [mm]q=n > 0\,.[/mm]
>
> > [mm]\blue{\bruch{p-1}{q} \le a < \bruch{p}{q}}[/mm]
> >
> >
> > Doch wie genau komme ich jetzt von hier nach
> >
> >
> > [mm]a < \red{\bruch{p}{q} - \bruch{p-1}{q} + \bruch{1}{q}}[/mm]
> > < [mm]a+\varepsilon[/mm]
>
> Na, [mm]a < \frac{p}{q}[/mm] steht doch gerade in der blaumarkierten
> Ungleichungskette!
>
> Und warum Du da "sowas komisches nach dem ersten [mm]{a \;<\;\,...}[/mm]"
> stehen hast
> (rotmarkiert), ist mir nicht klar:
Was genau meinst du? Ich hab nur versucht den Beweis zu imitieren. Da stand das auch so...
> Wie gesagt, es ist [mm]a < \frac{p}{q}\,[/mm] klar (s.o.). Dann
> folgt
> [mm]a < \frac{p}{q}=\frac{p}{q}-\frac{1}{q}+\frac{1}{q}=\frac{p-1}{q}+\frac{1}{q}[/mm]
Es wird quasi mit einer "1" erweitert, okay. So simpel, dass es wieder hohe Kunst ist. Jedenfalls für mich.
>
> Und jetzt kannst Du wieder in die blaue Ungleichungskette
> gucken und
> weiterrechnen!
Jetzt muss ich mir doch nur das oben definierte angucken und sehe, dass
[mm] \bruch{1}{q} \le \varepsilon. [/mm] Dann ist [mm] \bruch{1}{q} [/mm] < [mm] \varepsilon.
[/mm]
Somit kommt folgende Ungleichung heraus:
a < [mm] \bruch{p-1}{q} [/mm] + [mm] \bruch{1}{q} [/mm] < a + [mm] \varepsilon
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:48 Do 09.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > Ich versuche jetzt mal, den Beweis zu imitieren und so
> > > langsam verstehe ich auch die ganzen "neuen" Bezeichnungen,
> > > die ja eigentlich gar keine neuen sind.
> > >
> > >
> > >
> > > Es seien a,b [mm]\in[/mm] \ IR mit a < b. Zudem existiert ein r
> > > [mm]\in[/mm] Q, sodass gilt: a<r<b bzw. [mm]a
> > > Zu [mm]\varepsilon:=b-a[/mm] > 0 existiert ein q [mm]\in \IN[/mm] mit
> > > [mm]\tfrac{1}{n} \le \varepsilon\.[/mm]
> >
> > wenn Du das [mm]n\,[/mm] im Folgenden unten so benutzen willst, dann
> > sollte [mm]\tfrac{1}{n-1} \le \varepsilon[/mm] sein.
> > Denn Du willst später - bei dieser Fassung - ja
> > [mm]\tfrac{1}{n} \textbf{\red{\;<\;}} \varepsilon[/mm] verwenden.
> > (Man könnte
> > auch eine andere Stelle in Deinem Beweis anpassen, aber das
> > wird dann
> > reines Wirrwarr, wenn ich die nun auch noch erwähne...)
> > Wenn Du bei mir reinguckst, siehst Du auch, dass ich da
> > mit [mm]n+1\,[/mm] gearbeitet
> > hatte...
> >
> > > Dann ist [mm]\tfrac{1}{q+1}[/mm] < [mm]\varepsilon\,.[/mm]
> >
> > Öhem: Bei Dir ist [mm]q=n\,,[/mm] oder?!
>
> Ja sorry, hab das einmal so und einmal so geschrieben. Also
> q=n!
>
> > > Ist p [mm]\in[/mm] Z so, dass p-1 [mm]\le[/mm] aq < p, so folgt:
> > >
> > > p-1 [mm]\le[/mm] ap < p Dann dividieren der Ungleichung durch
> > > q
> >
> > Beachte [mm]q=n > 0\,.[/mm]
> >
> > > [mm]\blue{\bruch{p-1}{q} \le a < \bruch{p}{q}}[/mm]
> > >
> > >
> > > Doch wie genau komme ich jetzt von hier nach
> > >
> > >
> > > [mm]a < \red{\bruch{p}{q} - \bruch{p-1}{q} + \bruch{1}{q}}[/mm]
> > > < [mm]a+\varepsilon[/mm]
> >
> > Na, [mm]a < \frac{p}{q}[/mm] steht doch gerade in der blaumarkierten
> > Ungleichungskette!
> >
> > Und warum Du da "sowas komisches nach dem ersten [mm]{a \;<\;\,...}[/mm]"
> > stehen hast
> > (rotmarkiert), ist mir nicht klar:
>
> Was genau meinst du? Ich hab nur versucht den Beweis zu
> imitieren. Da stand das auch so...
nö:
[mm] $$\bruch{p}{q} [/mm] - [mm] \bruch{p-1}{q} [/mm] + [mm] \bruch{1}{q}$$
[/mm]
stand da sicher nicht, denn es ist:
[mm] $$\bruch{p}{q} [/mm] - [mm] \bruch{p-1}{q} [/mm] + [mm] \bruch{1}{q}=\frac{p}{q}-\frac{p}{q}+\frac{1}{q}+\frac{1}{q}=\frac{2}{q}\,.$$
[/mm]
Ich hab' da auch jetzt erst nochmal reingeguckt, da steht doch genau das,
was ich unten geschrieben habe!
Man könnte natürlich auch so rechnen:
$$a < [mm] \frac{p}{q}=\frac{p}{q}-\frac{p-1}{q}+\frac{p-1}{q}=\frac{p-(p-1)}{q}+\frac{p-1}{q}=...$$
[/mm]
> > Wie gesagt, es ist [mm]a < \frac{p}{q}\,[/mm] klar (s.o.). Dann
> > folgt
> > [mm]a < \frac{p}{q}=\frac{p}{q}-\frac{1}{q}+\frac{1}{q}=\frac{p-1}{q}+\frac{1}{q}[/mm]
>
> Es wird quasi mit einer "1" erweitert, okay. So simpel,
> dass es wieder hohe Kunst ist. Jedenfalls für mich.
Eigentlich wird da [mm] $-1+1=0\,$ [/mm] ausgenutzt. Der Grund ist, dass man etwa
etwas über [mm] $(p-1)/q\,$ [/mm] weiß, und das irgendwie mit reinbringen will. Man könnte
es auch anders reinbringen, aber so funktioniert das ja ganz gut...
Eine Erweiterung mit [mm] $1\,$ [/mm] sehe ich jetzt nicht...
> > Und jetzt kannst Du wieder in die blaue Ungleichungskette
> > gucken und
> > weiterrechnen!
>
> Jetzt muss ich mir doch nur das oben definierte angucken
> und sehe, dass
>
> [mm]\bruch{1}{q} \le \varepsilon.[/mm] Dann ist [mm]\bruch{1}{q}[/mm] <
> [mm]\varepsilon.[/mm]
Na Vorsicht: Wir hatten [mm] $q=n\,.$ [/mm] Dann hatten wir [mm] $\frac{1}{n-1} \le \varepsilon\,,$ [/mm] also [mm] $\frac{1}{q-1} \le \varepsilon\,.$ [/mm] Und DESWEGEN ist
[mm] $\frac{1}{q} [/mm] < [mm] \varepsilon\,.$
[/mm]
Du dürftest aus $a [mm] \le b\,$ [/mm] i.a. nicht $a < [mm] b\,$ [/mm] folgern, das gilt i.a. nur umgekehrt:
$a < [mm] b\;\;\;\Rightarrow\;\;\; [/mm] a [mm] \le b\,.$
[/mm]
>
> Somit kommt folgende Ungleichung heraus:
>
>
> a < [mm]\bruch{p-1}{q}[/mm] + [mm]\bruch{1}{q}[/mm] < a + [mm]\varepsilon[/mm]
Ja, genauer:
$$a [mm] \red{\;<\;} \frac{p}{q}=\frac{p-1}{q}+\frac{1}{q} \le a+\frac{1}{q} \red{\;<\;} a+\varepsilon\,.$$
[/mm]
Jetzt benutze noch die Definition von [mm] $\varepsilon\,,$ [/mm] und Du siehst
$$a < p/q < [mm] b\,.$$
[/mm]
Und $p/q [mm] \in \IQ$ [/mm] ist daher eine Zahl wie gewünscht!
Gruß,
Marcel
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