Quadr. Reste Primzahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:44 So 01.05.2016 | | Autor: | DerBaum |
| Aufgabe | Seien [mm] $q_1,\ldots,q_r$ [/mm] paarweise verschiedene ungerade Primzahlen und [mm] $e_1,\ldots,e_r\in\{-1,1\}$. [/mm] Zeige, dass die folgenden Mengen unendlich sind:
[mm] (a)$P_1:=\left\{p\in\mathbb{P}\mid\forall i\in\{1,\ldots,r\}:\left(\frac{p}{q_i}\right)=e_i\right\}$
[/mm]
[mm] (b)$P_2:=\left\{p\in\mathbb{P}\mid\forall i\in\{1,\ldots,r\}:\left(\frac{q_i}{p}\right)=e_i\right\}$
[/mm]
Hinweis: Finde jeweils unendliche Teilmengen (Dirichlet)
Hier bezeichnet [mm] $\mathbb{P}$ [/mm] die Menge der Primzahlen und die Klammer in der Menge das Legendre-Symbol. |
Guten Abend zusammen,
ich grüble seit einigen Stunden über diese Aufgabe nach, finde aber leider keinen richtigen Ansatz.
Wenn ich gezeigt habe, dass [mm] $P_1$ [/mm] unendlich ist, müsste das mit dem Reziprozitätsgesetz ja auch die [mm] $P_2$ [/mm] unendlich ergeben?
Welche Teilmengen könnten hier gemeint sein?
Ich weiß, dass es unendlich viele [mm] ${p}\in\mathbb{P}$ [/mm] so gibt, dass [mm] $q\in\mathbb{P}$ [/mm] quadratischer Rest mod $p$ ist, also [mm] $P_q^+:=\left\{p\in\mathbb{P}\mid \left(\frac{{p}}{q}\right)=1\right\}$ [/mm] unendlich für alle [mm] $q\in\mathbb{P}, [/mm] q>2$ ist. Ebenso auch [mm] $P^-_q:=\left\{p\in\mathbb{P}\mid \left(\frac{{p}}{q}\right)=-1\right\}$, [/mm] also die entsprechenden quadratischen Nichtreste.
Wenn ich nun aber zum Beispiel [mm] $P_1$ [/mm] mit diesen Mengen darstellen will hätte ich ja
[mm] $$P_1=\left(\bigcap\limits_{i=1}^sP^-_{q_i}\right)\cap\left(\bigcap\limits_{j=s+1}^{r}P^+_{q_j}\right),$$
[/mm]
mit (o.B.d.A.) [mm] $e_1=\ldots=e_s=-1,\,e_{s+1}=\ldots=e_r=1, 0\leq s\leq [/mm] r$.
Aber das bringt mich irgendwie nicht weiter?
Würde mich sehr über ein wenig Hilfe freuen.
Vielen Dank und liebe Grüße
DerBaum
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:41 So 01.05.2016 | | Autor: | statler |
Guten Morgen,
ich schlage vor, daß du für Teil a) erstmal einen konkreten Fall untersuchst: Nimm z. B. 3 mit +1 (QR) und 5 mit -1 (NR). Welche Primzahlen erfüllen die beiden Bedingungen? In welcher/n arithmetischen Folge/n (Dirichlet) liegen sie?
Gruß aus HH
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:56 So 01.05.2016 | | Autor: | DerBaum |
Hallo statler,
vielen Dank erst einmal für deine Antwort!
Ich habe das mal am von dir genannten Beispiel durchgespielt.
Also für [mm] $q_1=3,q_2=5,e_1=1,e_2=-1$ [/mm] gilt:
[mm] $$\left(\frac{p}{q_1}\right)=e_1\Leftrightarrow p\equiv 0\mod 3\text{ oder } p\equiv 1\mod [/mm] 3,$$
also $p=3$ oder $p=3k+1$ für ein [mm] $k\in\mathbb{N}.$
[/mm]
Andererseits gilt
[mm] $$\left(\frac{p}{q_2}\right)=e_2\Leftrightarrow p\equiv 4\mod [/mm] 5,$$
also [mm] $p=5\ell+4$ [/mm] für ein [mm] $\ell\in\mathbb{N}$.
[/mm]
Damit müsste $p$ von der Form $p=q_1q_2k+4$ für ein [mm] $k\in\mathbb{N}$ [/mm] sein. Da [mm] $\mathrm{ggT}(4,q_1q_2)=1$, [/mm] gibt es nach Dirichlet davon also unendlich viele und dieser spezielle Fall wäre gezeigt.
Liebe Grüße
DerBaum
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:43 So 01.05.2016 | | Autor: | statler |
Hey du!
> Ich habe das mal am von dir genannten Beispiel
> durchgespielt.
Aber mit Mängeln!
>
> Also für [mm]q_1=3,q_2=5,e_1=1,e_2=-1[/mm] gilt:
>
> [mm]\left(\frac{p}{q_1}\right)=e_1\Leftrightarrow p\equiv 0\mod 3\text{ oder } p\equiv 1\mod 3,[/mm]
>
> also [mm]p=3[/mm] oder [mm]p=3k+1[/mm] für ein [mm]k\in\mathbb{N}.[/mm]
0 ist zwar immer QR, aber das Restsymbol ist zunächst nur für teilerfremde Reste definiert. p = 3 entfällt.
>
> Andererseits gilt
> [mm]\left(\frac{p}{q_2}\right)=e_2\Leftrightarrow p\equiv 4\mod 5,[/mm]
>
> also [mm]p=5\ell+4[/mm] für ein [mm]\ell\in\mathbb{N}[/mm].
Hier will ich gerade die Nichtreste haben, das sind 2 und 3. Insgesamt kriege ich dann modulo 15 die Restklassen 7 und 13. Genaugenommen kommt hier außer Dirichlet noch der Chinesische Restsatz ins Geschäft, dann solltest du aus diesem Beispiel einen allgemeinen Beweis zusammenlöten können.
In diesem Sinne
Dieter
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