Quadrat-,quadratfrei Zahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:24 Mi 04.11.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
(i) Die Anzahl der Quadratzahlen q mit [mm] q\leq [/mm] n ist höchstens [mm] \sqrt{n}.
[/mm]
(ii) Die Anzahl der quadratfreien Zahlen k mit [mm] k\leq [/mm] n ist höchstens [mm] 2^{\pi(n)} [/mm] |
Hallo,
Zu (i)
Sei q die Anzahl der Quadratzahlen mit [mm] q\leq [/mm] n.
Wie kann ich nun das q so abschätzen, dass [mm] q\leq \sqrt{n} [/mm] gilt?
Ich komme da irgendwie nicht drauf...
Zu (ii)
Gleiches Spiel. Zu zeigen ist [mm] k\leq 2^{\pi(n)}.
[/mm]
[mm] \pi(n) [/mm] ist also die Anzahl der Primzahlen von 0 bis n.
Ich kann aber auch hier keinen Ansatz finden, sodass ich k weiter abschätzen kann...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:44 Mi 04.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
a) n ist ne Quadratzahl also [mm] n=k^2 [/mm] wieviel kleinere k gibt es?
oder [mm] k^2
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 Mi 04.11.2009 | | Autor: | Unk |
> Hallo
> a) n ist ne Quadratzahl also [mm]n=k^2[/mm] wieviel kleinere k
> gibt es?
> oder [mm]k^2
> Frage.
> Gruss leduart
>
Gilt [mm] k^2
Wenn ich das aber so sage, wende ich im prinzip bereits die behauptung an.
Oder soll das reine Logik sein? Das ist doch dann noch kein beweis.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:19 Mi 04.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
bis [mm] k^2 [/mm] existieren di qu-Zahlen [mm] 1^2,2^2,....k^2, [/mm] also genau k Stück. Der Beweis ist auch trivial!
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:13 Mi 04.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Zeigen Sie:
> (i) Die Anzahl der Quadratzahlen q mit [mm]q\leq[/mm] n ist
> höchstens [mm]\sqrt{n}.[/mm]
> (ii) Die Anzahl der quadratfreien Zahlen k mit [mm]k\leq[/mm] n ist
> höchstens [mm]2^{\pi(n)}[/mm]
>
> Zu (ii)
> Gleiches Spiel. Zu zeigen ist [mm]k\leq 2^{\pi(n)}.[/mm]
> [mm]\pi(n)[/mm]
> ist also die Anzahl der Primzahlen von 0 bis n.
> Ich kann aber auch hier keinen Ansatz finden, sodass ich k
> weiter abschätzen kann...
Sei $P(n)$ die Menge der Primzahlen [mm] $\le [/mm] n$, und sei $Q$ die Menge der quadratfreien Zahlen. Betrachte die Menge $M$ der Abbildung $P(n) [mm] \to \{ 0, 1 \}$; [/mm] zu $f [mm] \in [/mm] M$ kannst du $q(f) := [mm] \prod_{p \in P(n)} p^{f(p)}$ [/mm] definieren. Zeige jetzt, dass $q(f) [mm] \in [/mm] Q$ ist und dass das Bild von $q : M [mm] \to [/mm] Q$ alle quadatfreien Zahlen [mm] $\le [/mm] n$ enthaelt.
Wieviele Elemente enthaelt $M$?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:56 Mi 04.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] 2^{\pi(n)} [/mm] ist fast immer >n also eine ungeheuer unscharfe abschätzung. Was da gesagt wird, ist dass die anzahl der quadratfreien Zahlen kleiner n ist!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:40 Mi 04.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo leduart,
> [mm]2^{\pi(n)}[/mm] ist fast immer >n also eine ungeheuer unscharfe
> abschätzung. Was da gesagt wird, ist dass die anzahl der
> quadratfreien Zahlen kleiner n ist!
da hast du Recht: es gibt wesentlich bessere Abschaetzungen.
LG Felix
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