Quadrat einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:36 Di 11.05.2010 | | Autor: | MrAfI |
| Aufgabe | Mit [mm] E_{2} [/mm] sei die Einheitsmatrix bezeichnet. Ist die Aussage über einem Körper K richtig?
Ist [mm] A\in K^{2x2} [/mm] mit [mm] A^{2} [/mm] = [mm] E_{2}, [/mm] so ist A = [mm] \pm E_{2} [/mm] ?
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Hallo zusammen,
Ich glaube in der Schule schon öfters den Fall gehabt zu haben, dass eine Matrix beim Quadrieren zur Einheitsmatrix wurde, auch wenn sie nicht die Einheitsmatrix war (Bei Übergangsmatrizen soweit ich weiß).
Nun bin ich mir nicht sicher, ob die Aussage stimmt oder nicht. So auf Anhieb würde man ja kein Beispiel finden, daher hoffe ich, dass ihr mir da helfen könnt.
Vielen Dank schonmal ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:40 Di 11.05.2010 | | Autor: | chrisno |
zwei Beispiele: Drehung um 180°, Spiegelung an einer Achse
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Hallo,
> Mit [mm]E_{2}[/mm] sei die Einheitsmatrix bezeichnet. Ist die
> Aussage über einem Körper K richtig?
> Ist [mm]A\in K^{2x2}[/mm] mit [mm]A^{2}[/mm] = [mm]E_{2},[/mm] so ist A = [mm]\pm E_{2}[/mm]
> ?
>
> Hallo zusammen,
>
> Ich glaube in der Schule schon öfters den Fall gehabt zu
> haben, dass eine Matrix beim Quadrieren zur Einheitsmatrix
> wurde, auch wenn sie nicht die Einheitsmatrix war (Bei
> Übergangsmatrizen soweit ich weiß).
>
> Nun bin ich mir nicht sicher, ob die Aussage stimmt oder
> nicht.
Die Aussage stimmt nicht.
Wenn du mal [mm] $A=\pmat{a&b\\c&d}$ [/mm] ansetzt, bekommst du ein Gleichungssystem.
Bei dem Versuch, das zu lösen, kommt man schnell darauf, dass aus [mm] $A^2=E_2$ [/mm] wohl kaum [mm] $A=E_2 [/mm] folgt.
Mache dich also auf die Suche nach einer möglichst einfachen [mm] $2\times [/mm] 2$ -Matrix, die zwar [mm] $A^2=E_2$ [/mm] erfüllt, aber [mm] $A\neq \pm E_2$ [/mm] ist
> So auf Anhieb würde man ja kein Beispiel finden,
> daher hoffe ich, dass ihr mir da helfen könnt.
>
> Vielen Dank schonmal ;)
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:15 Di 11.05.2010 | | Autor: | fred97 |
Dass die Aussage nicht richtig ist hast Du schon von meinen Vorrednern erfahren.
Aber wie konstruiert man sich solche Matrizen ? Ich nehme mal als Körper K= [mm] \IR [/mm] und statt [mm] E_2 [/mm] schreibe ich E.
Aus $ [mm] A^{2} [/mm] = E $ folgt , dass für A als Eigenwerte nur 1 oder -1 in Frage kommen.
Das legt den Gedanken nahe sich mit Matrizen der Form
(*) [mm] $A_a:= \pmat{ 1 & a \\ 0 & -1 }$
[/mm]
zu beschäftigen ( a [mm] \in \IR). [/mm] Nun berechne mal [mm] A_a^2.
[/mm]
Natürlich gibt es noch weitere Matrizen A mit [mm] A^2=E [/mm] , die nicht von der Gestalt (*) sind.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:31 Di 11.05.2010 | | Autor: | MrAfI |
Hey,
Danke an Alle für die Tips. Kenne noch nicht alle Begriffe, wie zB. Eigenwerte und Drehung etc, jedoch habe ich mal eine einfache Matrix aufgestellt, die nicht die Einheitsmatrix ist und dennoch zum Quadrat die Einheitsmatrix ergibt (Mit Hilfe des Gleichungssystems habe ich einfach ein paar Werte herausgesucht):
A = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }
[/mm]
[mm] \Rightarrow A^{2} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
Denke das sollte als Beispiel reichen. Also nochmals vielen Dank für die schnellen und kompetenten Antworten :)
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