Quadratische Ergänzung < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:21 Sa 08.10.2011 | | Autor: | dstny |
| Aufgabe | | Bestimme die Nullstellen der Funktion f(x)=2x²-6x-4 |
Kurze Frage zum thema Quadratische Ergänzung..
Soweit verstehe ich es:
f(x)=-2x²-6x-4
-2x²-6x-4 = 0 | :(-2)
x² + 3x + 2 = 0 | - 2
x² + 3x = -2
_________________
Jetzt geht es laut Matheheft folgendermaßen weiter:
x² + 3x + (3/2)² = -2 + (3/2)² | In Klammer bringen
(x + 1,5)² = 0,25 | + - (Wurzel)
1. Lösung
x+1,5 = -0,5 | -1,5
x = -2
2. Lösung
x+1,5 = 0,5
x = -1
Ich verstehe den Schritt "In Klammer bringen" nicht...
Also von:
x² + 3x + (3/2)² = -2 + (3/2)² --> nach
(x + 1,5)² = 0,25
nicht..
Wie lautet die Rechnung, wie ich da vorgehen muss?
Wieso ist das (3/2)² verschwunden..
bzw. wenn aus den (3/2)² die 1,5 werden - Wo bleiben dann die 3x?
Hoffe jemand hilft mir da..
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:30 Sa 08.10.2011 | | Autor: | abakus |
> Bestimme die Nullstellen der Funktion f(x)=2x²-6x-4
> Kurze Frage zum thema Quadratische Ergänzung..
>
> Soweit verstehe ich es:
>
> f(x)=-2x²-6x-4
> -2x²-6x-4 = 0 | :(-2)
> x² + 3x + 2 = 0 | - 2
> x² + 3x = -2
>
> _________________
>
> Jetzt geht es laut Matheheft folgendermaßen weiter:
>
> x² + 3x + (3/2)² = -2 + (3/2)² | In Klammer bringen
> (x + 1,5)² = 0,25 | + - (Wurzel)
>
>
> 1. Lösung
> x+1,5 = -0,5 | -1,5
> x = -2
>
> 2. Lösung
> x+1,5 = 0,5
> x = -1
>
>
> Ich verstehe den Schritt "In Klammer bringen" nicht...
> Also von:
>
> x² + 3x + (3/2)² = -2 + (3/2)² --> nach
> (x + 1,5)² = 0,25
> nicht..
>
> Wie lautet die Rechnung, wie ich da vorgehen muss?
> Wieso ist das (3/2)² verschwunden..
> bzw. wenn aus den (3/2)² die 1,5 werden - Wo bleiben dann
> die 3x?
Hallo,
kennst du keine binomischen Formeln?
[mm] (x+1,5)^2 [/mm] ist doch gerade [mm] x^2+2*x*1,5 [/mm] + [mm] 1,5^2,
[/mm]
also [mm] x^2+3x+1,5^2.
[/mm]
Deine vermissten 3x stecken als doppeltes Produkt von x und 1,5 in dem ausmultiplizierten Term [mm] (x+1,5)^2.
[/mm]
Gruß Abakus
>
>
> Hoffe jemand hilft mir da..
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Sa 08.10.2011 | | Autor: | dstny |
Könntest du mir das vielleicht ein bisschen einfacher klarmachen..
Für doofe wenns geht..
Also muss ich aus:
x² + 3x + (3/2)²
die binomische Formel bilden, die so lautet:
(x + 1,5)²
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 Sa 08.10.2011 | | Autor: | abakus |
> Könntest du mir das vielleicht ein bisschen einfacher
> klarmachen..
> Für doofe wenns geht..
>
> Also muss ich aus:
> x² + 3x + (3/2)²
> die binomische Formel bilden, die so lautet:
> (x + 1,5)²
Im Prinzip ja, wenn es hier so einfach wäre.
Das Schwierige ist, dass du aus
[mm] x^2+3x [/mm] = "irgendwas"
durch addieren eines geeigneten Terms (dass dieser Term [mm] 1,5^2 [/mm] ist weißt du ja noch nicht)
die Gleichung
[mm] (x+...)^2= [/mm] "irgendwas plus das auf beiden Seiten Addierte"
erhalten musst.
Da in der Mitte der binomischen Formel ein doppeltes Produkt vorkommt und dieses hier 3x werden soll, musst du als zweiten Summanden in der Klammer die Hälfte von 3, also 1,5 wählen.
Nun ist aber [mm] x^2+3x [/mm] nicht das selbe wie [mm] (x+1,5)^2, [/mm]
denn [mm] (x+1,5)^2 [/mm] ist [mm] x^2+3x\red{+1,5^2}.
[/mm]
Deshalb musst du diesen fehlenden Summanden [mm] \red{+1,5^2} [/mm] zu [mm] x^2+3x [/mm] noch dazugeben. Das darfst du natürlich nicht nur auf der linken Seite der Gleichung machen (durch eine einseitige Veränderung würde sich die Lösung der Gleichung ändern), also musst du [mm] \red{+1,5^2} [/mm] auf beiden Seiten der Gleichung hinzufügen.
Gruß Abakus
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Sa 08.10.2011 | | Autor: | dstny |
Kannst du mir vielleicht noch ein Beispiel mit zahlen geben?
Inklusive Lösungsweg?
Vielleicht hilft mir das noch ein bisschen mehr, das richtig zu verstehen..
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Hallo, nehmen wir
[mm] x^{2}+10x+3
[/mm]
die Hälfte von 10 ist 5, das Quadrat von 5 ist 25
[mm] x^{2}+10x+3+22-22
[/mm]
[mm] =x^{2}+10x+25-22
[/mm]
damit sich der Term nicht verändert, ist 22 zu subtrahieren
aus [mm] x^{2}+10x+25 [/mm] wird [mm] (x+5)^{2}
[/mm]
[mm] =(x+5)^{2}-22
[/mm]
du kannst immer für dich die Probe machen, versuche mal
(1) [mm] x^{2}-12x+7
[/mm]
(2) [mm] x^{2}+20x-15
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Sa 08.10.2011 | | Autor: | dstny |
Jetzt bin ich komplett durcheinander..
Nehmen wir mal mein Beispiel aus meinem Heft:
f(x)=-2x²-6x-4
Dann den Funktionsterm " =0 setzen"
-2x²-6x-4=0 -> Jetzt muss es in die Normalform (oder?)|:(-2)
x²+3x+2=0 -> dann die 2 weg (oder?)| -2
x²+3x=-2
So dann steht in meinem Heft als "Anweisung" "Linke Seite zur binomischen Formel "quadratisch Ergänzen" (Zahl vor dem x halbieren quadrieren, auf beiden Seiten addieren"
Dann steht dort:
x²+3x+(3/2)²=-2x+(3/2)²
Also muss ich zu dem 3x noch (3/2)² schreiben.. soweit so gut.
Nächster Schritt wäre: "In Klammern bringen"
Also muss aus:
x²+3x+(3/2)²=-2+(3/2)²
(x+1,5)²=0,25
werden.
Da liegt mein Problem... Ich verstehe einfach nicht wie genau ich da vorgehen soll.
Das aus 2+(3/2)² = 0,25 werden, kann ich ja im Prinzip im Taschenrechner eintippen..
Aber wird dann wenn ich z.B statt "x²+3x+(3/2)²" z.B
"x²+4x+(4/2)" habe daraus -> (x+2)²
Wenn nein - Was würde dann aus x²+4x+(4/2)werden?
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Hallo dstny,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Jetzt bin ich komplett durcheinander..
>
> Nehmen wir mal mein Beispiel aus meinem Heft:
>
> f(x)=-2x²-6x-4
>
> Dann den Funktionsterm " =0 setzen"
>
> -2x²-6x-4=0 -> Jetzt muss es in die Normalform
> (oder?)|:(-2)
> x²+3x+2=0 -> dann die 2 weg (oder?)| -2
> x²+3x=-2
>
> So dann steht in meinem Heft als "Anweisung" "Linke Seite
> zur binomischen Formel "quadratisch Ergänzen" (Zahl vor
> dem x halbieren quadrieren, auf beiden Seiten addieren"
> Dann steht dort:
> x²+3x+(3/2)²=-2x+(3/2)²
>
> Also muss ich zu dem 3x noch (3/2)² schreiben.. soweit so
> gut.
> Nächster Schritt wäre: "In Klammern bringen"
> Also muss aus:
> x²+3x+(3/2)²=-2+(3/2)²
> (x+1,5)²=0,25
> werden.
> Da liegt mein Problem... Ich verstehe einfach nicht wie
> genau ich da vorgehen soll.
> Das aus 2+(3/2)² = 0,25 werden, kann ich ja im Prinzip im
> Taschenrechner eintippen..
> Aber wird dann wenn ich z.B statt "x²+3x+(3/2)²" z.B
> "x²+4x+(4/2)" habe daraus -> (x+2)²
>
>
Wenn Du
[mm]x^{2}+4x+\left(\bruch{4}{2}\right)^{2}[/mm]
hast, dann wird daraus
[mm]\left(x+2\right)^{2}[/mm]
> Wenn nein - Was würde dann aus x²+4x+(4/2)werden?
>
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:12 Sa 08.10.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Dann mal ganz ausführlich:
f(x)=-2x²-6x-4
die -2 aus den ersten beiden Summanden ausklammern, ergibt:
f(x)=-2(x²+3x)-4
In der Klammer stehen nun die ersten beiden Summanden der (hier ersten) binomischen Formel - rückwärts angewandt.
Also ergänzen wir ein (3/2)², das ist genau der Term, der für die Binomische Formel fehlt. Um die Funktion aber nich zu verändern, subtrahieren wir im selben Schritt wieder diese (3/2)
Also:
Das ergibt:
f(x)=-2(x²+3x+1,5²-1,5²)-4
Jetzt kommen wir die ersten drei Summanden per binomischer Formel verarbeiten, also:
f(x)=-2((x+1,5)²-1,5²)-4
Die 1,5² ausrechnen:
f(x)=-2((x+1,5)²-2,25)-4
Jetzt noch Klammern lösen:
f(x)=-2(x+1,5)²+5,5-4
Und noch einmal zusammenfassen:
f(x)=-2(x+1,5)²+1,5
Das hier nun die 1,5 doppelt auftaucht, ist Zufall.
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:43 So 09.10.2011 | | Autor: | dstny |
Erst mal ein riesiges DANKE an alle die geantwortet haben :)
Nur noch mal zur sicherheit.. Das ist also jetzt richtig:
f(x) = x² + 6x - 40
x² + 6x - 40 = 0 |+40
x² + 6x = 40
x² + 6x + (6/2)² = 40 + (6/2)
(x + 3)² = 49 |+/- [Wurzel]
1. Lösung: [x1]
x + 3 = -7 | -3
x = -10
2. Lösung: [x2]
x + 3 = (+)7 | -3
x = (+)4
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:50 So 09.10.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Erst mal ein riesiges DANKE an alle die geantwortet haben :)
>
> Nur noch mal zur sicherheit.. Das ist also jetzt richtig:
>
> f(x) = x² + 6x - 40
> x² + 6x - 40 = 0 |+40
> x² + 6x = 40
> x² + 6x + (6/2)² = 40 + (6/2)
Bis auf diese Stelle, da muss es heissen ... = [mm] 40+(6/2)^2
[/mm]
> (x + 3)² = 49 |+/- [Wurzel]
>
> 1. Lösung: [x1]
> x + 3 = -7 | -3
> x = -10
>
> 2. Lösung: [x2]
> x + 3 = (+)7 | -3
> x = (+)4
Das Ergerbnis kannst Du mittels Probe auch bestätigen
1. Lösung
[mm] 10^2-6*10-40=0
[/mm]
2. Lösung
16+6*4-40=0
Stimmt also alles.
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