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| Aufgabe | Sei [mm] \Phi [/mm] : [mm] \IR^2 \times \IR^2 \to \IR [/mm] eine symmetrische Bilinearform mit [mm] G_E(\Phi) [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 2 \\ 2 & -2 } [/mm] und [mm] q:\IR^2 \to \IR [/mm] die zugehörige quadratische Form.
Zeichnen Sie die Menge [mm] \{w \in\IR^2 | q(w)=1\} [/mm] und beschreiben Sie die Hauptachsen!
Erläutern Sie expressis verbis Ihr Vorgehen. |
Hallo, ich bins mal wieder!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Habe bei dieser Aufgabe Schwierigkeiten. Weiß garnicht genau was die quadratische Form von der Bilinearform ist und wie ich die Menge zeichnen soll bzw. die Hauptachsen beschreiben soll.
Für einen Ansatz wäre ich dankbar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:00 Do 14.06.2007 | | Autor: | kochmn |
Servus Charlie 1984,
was du da hast ist eine 2D-Quadrik. Das ist ein Polynom
p(x,y) = [mm] a*x^2 [/mm] + [mm] b*y^2 [/mm] + c*x*y + d*x + e*y + f.
Dieser Wust kann (und wird in deiner Aufgabe) auch in Matrizenschreibweise
notiert werden. In Deinem Fall ist es
/ 0 2 \ / x [mm] \
[/mm]
1 = (x y) * | | * | |
\ 2 -2 / \ y /
= 4*xy - [mm] 2*y^2
[/mm]
Die zweite Schreibweise heißt "Quadratische Form".
Das Polynom beschreibt einen Kegelschnitt, der aber aber krumm im
Raum liegt (ist es z.B. eine Ellipse, so liegen ihre Hauptachsen
nicht parallel zu den Koordinatenachsen...).
Hätte das Polynom z.B. die Form 0 = [mm] a*x^2 [/mm] + [mm] b*y^2 [/mm] könntest Du
ablesen, dass es sich um eine Ellipse handelt (oder ggf. eine Parabel, etc.).
Was Dich dabei stört ist der gemischte Term "4*xy".
Den bekommst Du weg, indem Du den Raum geschickt drehst.
Die Matrix M ist symmetrisch! Finde ihre Eigenvektoren und diagonalisiere sie:
D = A * M * [mm] A^T
[/mm]
(A ist eine 2x2-Matrix, deren Spalten auf Einheitslänge gebrachte
Eigenvektoren sind. Warum die Diagonalisierung so funktioniert
kannst Du sicher verstehen, wenn Du Dir überlegst, was
EV1 * M * EV2) für einen Wert gibt (EW*EV falls EV=EV1=EV2 oder
0 falls EV1 != EV2 -- Bedenke: Eigenvektoren zu verschiedenen
Eigenwerten stehen senkrecht aufeinander!).
Nachdem du diese kleine Fingerübung gemeistert hast kannst Du die Hauptachsen-
trafo durchführen. Definiere neue Koordinaten:
(x y) = (u v) * A
anders ausgedrückt:
(x [mm] y)^T [/mm] = [mm] A^T [/mm] * (u [mm] v)^T
[/mm]
Das eingesetzt in die Matrixgleichung oben:
/ 0 2 \ / x [mm] \
[/mm]
1 = (x y) * | | * | |
\ 2 -2 / \ y /
/ 0 2 \ / u [mm] \
[/mm]
= (u v) * A * | | * [mm] A^T [/mm] * | |
\ 2 -2 / \ v /
= (u v) * D * (u [mm] v)^T [/mm] = [mm] r*u^2 [/mm] + [mm] s*v^2
[/mm]
Die Hauptachsen sind die Eigenvektoren der Matrix A.
Ich hoffe, das hilft dir,
Liebe Grüße
Markus-H. Koch.
P.S.: Ich habe diesen Text bereits getextet bevor ich mich habe
registrieren lassen. Beim nächsten mal weiß ich, dass Ihr
hier einen kleinen Formeleditor habt!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:06 Do 14.06.2007 | | Autor: | kochmn |
P.P.S.: Man sollte vorher lesen was man abschickt: Korrektur:
Die Hauptachsen sind die Eigenvektoren der Matrix M, die Du
benutzt hast um Matrix A aufzustellen!
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