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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 Do 20.02.2014 | | Autor: | petapahn |
| Aufgabe | Sei A [mm] \in \IR^{m\timesn}, b\in\IR^{m} [/mm] und a>0.
Überführe [mm] f(x)=\bruch{1}{2}$\parallel [/mm] Ax-b [mm] \parallel_{2}^{2}\$+\bruch{a}{2}$\parallel [/mm] x [mm] \parallel_{2}^{2}\$ [/mm] in eine quadratische Form, also [mm] f(x)=\bruch{1}{2}x^{T}Cx+c^{T}x+\gamma
[/mm]
mit C [mm] \in \IR^{n\times n}, x\in \IR^{n} [/mm] und [mm] \gamma \in \IR [/mm] |
Hallo,
ich komme irgendwie nicht richtig hin.
Mein Ansatz bis jetzt:
[mm] \bruch{1}{2}$\parallel [/mm] Ax-b [mm] \parallel_{2}^{2}\$+\bruch{a}{2}$\parallel [/mm] x [mm] \parallel_{2}^{2}\$=\bruch{1}{2}(x^{T}A^{T}Ax-b^{T}Ax-x^{T}A^{T}b+b^{T}b) +\bruch{a}{2}$\parallel [/mm] x [mm] \parallel_{2}^{2}\$= \bruch{1}{2}\parallel Ax\parallel^{2}+\bruch{a}{2}\parallel x\parallel^{2}-b^{T}Ax+\bruch{1}{2}b^{T}b=
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}\parallel\lambda_{min}(A)x\parallel^{2}+\bruch{a}{2}\parallel x\parallel^{2}-b^{T}Ax+\bruch{1}{2}b^{T}b=\bruch{1}{2}x^{T}(|\lambda_{min}(A)|+\bruch{a}{2})x-b^{T}Ax+\bruch{1}{2}b^{T}b
[/mm]
Das Problem ist aber, dass [mm] |\lambda_{min}(A)|+\bruch{a}{2} \in \IR [/mm] und nicht in [mm] \IR^{n\timesn}
[/mm]
Viele Grüße
petapahn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:39 Do 20.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei A [mm]\in \IR^{m\timesn}, b\in\IR^{m}[/mm] und a>0.
> Überführe [mm]f(x)=\bruch{1}{2}[/mm] [mm]\parallel Ax-b \parallel_{2}^{2}\[/mm][mm] +\bruch{a}{2}[/mm]
> [mm]\parallel x \parallel_{2}^{2}\[/mm] in eine quadratische Form,
> also [mm]f(x)=\bruch{1}{2}x^{T}Cx+c^{T}x+\gamma[/mm]
> mit C [mm]\in \IR^{n\times n}, x\in \IR^{n}[/mm] und [mm]\gamma \in \IR[/mm]
>
> Hallo,
> ich komme irgendwie nicht richtig hin.
> Mein Ansatz bis jetzt:
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] [mm]\parallel Ax-b \parallel_{2}^{2}\[/mm][mm] +\bruch{a}{2}[/mm]
> [mm]\parallel x \parallel_{2}^{2}\[/mm][mm] =\bruch{1}{2}(x^{T}A^{T}Ax-b^{T}Ax-x^{T}A^{T}b+b^{T}b) +\bruch{a}{2}[/mm]
> [mm]\parallel x \parallel_{2}^{2}\[/mm]= [mm]\bruch{1}{2}\parallel Ax\parallel^{2}+\bruch{a}{2}\parallel x\parallel^{2}-b^{T}Ax+\bruch{1}{2}b^{T}b=[/mm]
>
> =
> [mm]\bruch{1}{2}\parallel\lambda_{min}(A)x\parallel^{2}+\bruch{a}{2}\parallel x\parallel^{2}-b^{T}Ax+\bruch{1}{2}b^{T}b=\bruch{1}{2}x^{T}(|\lambda_{min}(A)|+\bruch{a}{2})x-b^{T}Ax+\bruch{1}{2}b^{T}b[/mm]
Oben hast Du Dich vertan.
Probiers mal mit [mm] C=AA^T-aE, [/mm] $c=A^Tb$ und [mm] \gamma=\bruch{1}{2}||b||_2^2
[/mm]
FRED
>
> Das Problem ist aber, dass [mm]|\lambda_{min}(A)|+\bruch{a}{2} \in \IR[/mm]
> und nicht in [mm]\IR^{n\timesn}[/mm]
> Viele Grüße
> petapahn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Do 20.02.2014 | | Autor: | petapahn |
Hallo Fred,
wohl eher: [mm] C=(A^{T}A+aE), c=-A^{T}b, [/mm] oder?
Gruss petapahn
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:10 Fr 21.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
> wohl eher: [mm]C=(A^{T}A+aE), c=-A^{T}b,[/mm] oder?
Kann sein, dass mir ein Vorzeichenfehler unterlaufen ist.
FRED
> Gruss petapahn
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