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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:48 Sa 08.03.2008 | | Autor: | Rated-R |
| Aufgabe | Gegeben sind die reellen Funktionen [mm] f_a: x=\bruch{1}{2}x^2+ax+2a [/mm] mit a [mm] \in \IR [/mm] und [mm] D=\IR
[/mm]
1. Bestimmen Sie die Anzahl der Nullstellen der Funktion [mm] f_a [/mm] in Abhängigkeit von a.
2. Berechnen Sie die Werte von a, für die die Parabel die Gerade
k: y =x2 berührt. |
Hi,
bei der ersten weiß ich nicht so recht was Abängigkeit von a bedeutet.
Ich habs mal so probiert:
[mm] 0,5x^2+ax+2a [/mm] /*2
[mm] x^2+2ax+4a
[/mm]
pq-formel:
[mm] -\bruch{2a}{2}\pm\wurzel{(\bruch{2a}{2})^2-4a}
[/mm]
[mm] -a\pm\wurzel{a^2-4a}
[/mm]
[mm] x_1=-a+a-2\wurzel{a}
[/mm]
[mm] x_1=-2\wurzel{a}
[/mm]
[mm] x_2=-2a-2\wurzel{a}
[/mm]
2. Ich würde sagen gleichsetzen also:
[mm] x^2+2ax+4a=-2x-4
[/mm]
[mm] x^2+2ax+4a+2x+4=0
[/mm]
Und dann pq formel bin ich so auf dem richtigen Weg?
Danke für eure Hilfe.
Gruß Tom
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:09 Sa 08.03.2008 | | Autor: | Blech |
> bei der ersten weiß ich nicht so recht was Abängigkeit von
> a bedeutet.
Es heißt, daß in Deinem Ergebnis für [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] a vorkommen kann (=wird, in diesem Fall). Damit kriegst Du keine Zahlenwerte für [mm] $x_{1/2}$ [/mm] sondern einen Ausdruck, der von a abhängt.
>[snip]
Paßt.
> [mm]-a\pm\wurzel{a^2-4a}[/mm]
[mm] $\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a}+\sqrt{b}$ [/mm] !
Bsp: [mm] $\sqrt{8}=\sqrt{4+4}=\sqrt{4}+\sqrt{4}=4$, [/mm] aber [mm] $4^2$ [/mm] ist offensichtlich nicht 8, also [mm] $4\neq\sqrt{8}$. [/mm] (Die Wurzel ist die Umkehr des Quadrierens. [mm] $(a+b)^2$ [/mm] ist ja auch nicht [mm] $a^2+b^2$ [/mm] :)
D.h. [mm] $\sqrt{a^2-4a}\neq\sqrt{a^2}-\sqrt{4a}$
[/mm]
(außerdem hast Du bei [mm] $x_2$ [/mm] vergessen, daß $-(a-b)=-a+b$, nicht $-a-b$)
> 2. Ich würde sagen gleichsetzen also:
>
> [mm]x^2+2ax+4a=-2x-4[/mm]
> [mm]x^2+2ax+4a+2x+4=0[/mm]
>
> Und dann pq formel bin ich so auf dem richtigen Weg?
Ja, bist Du. =)
Die Parabel soll die Gerade berühren, also suchst Du dann das a, für das es genau einen Schnittpunkt gibt.
Ich sollte noch hinzufügen: Du hast ja oben die beiden Schnittpunkte in Abhängigkeit von a. Wenn Du die beiden Schnittpunkte gleichsetzt, kriegst Du natürlich auch die a, für die es exakt einen Schnittpunkt gibt. Es ist auch der schnellere Weg, sofern Dein Ergebnis bei Teilaufgabe a) stimmt, was es jetzt tut. =)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Sa 08.03.2008 | | Autor: | Rated-R |
Ich bin jetzt nicht ganz mitgekommen. Was wäre jetzt bei den Nullstellen richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:05 Sa 08.03.2008 | | Autor: | abakus |
Hallo,
dein Lösungsterm [mm] -a\pm\wurzel{a^2-4a} [/mm] ist für manche a gar nicht definiert (keine Lösung), für manche a gibt es genau eine Lösung, weil [mm] -a+\wurzel{a^2-4a} [/mm] und [mm] -a-\wurzel{a^2-4a} [/mm] auf den gleichen Wert führen, und für manche a gibt es zwei verschiedene Lösungen.
Entscheidend dafür, welcher der genannten Fälle vorliegt, ist der Term unter der Wurzel.
Viele Grüße
Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Sa 08.03.2008 | | Autor: | Rated-R |
Achso, ich danchte ich kann das nur irgendwie kürzen. Danke.
Nun die 2. ich hab die Gleichung [mm] x^2+2ax+4a+2x+4=0 [/mm] jedoch weiß ich nicht wie ich die in die pq-formel einsetzen soll. Kann mir jemand einen Tipp geben? Danke.
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Hallo Rated-R,
> Achso, ich danchte ich kann das nur irgendwie kürzen.
> Danke.
>
> Nun die 2. ich hab die Gleichung [mm]x^2+2ax+4a+2x+4=0[/mm] jedoch
> weiß ich nicht wie ich die in die pq-formel einsetzen soll.
> Kann mir jemand einen Tipp geben? Danke.
Fasse die Terme mit x und die ohne x zusammen:
[mm] $x^2+2ax+4a+2x+4=0$
[/mm]
[mm] $\gdw x^2+(2a+2)x+(4a+4)=0$
[/mm]
[mm] $\gdw x^2+\blue{2(a+1)}x+\red{4(a+1)}=0$
[/mm]
Nun kannste die p/q-Formel darauf loslassen mit [mm] $\blue{p=2(a+1)}$ [/mm] und [mm] $\red{q=4(a+1)}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 Sa 08.03.2008 | | Autor: | Rated-R |
Ah, hät ich mir denken können.
Hab das mal gemacht und kam auf [mm] x_1_/_2= -(a+1)\pm\wurzel{a^2-4a-3}
[/mm]
Kann ich das noch weiter auflösen oder wars das?
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Hallo nochmal,
> Ah, hät ich mir denken können.
>
> Hab das mal gemacht und kam auf [mm]x_1_/_2= -(a+1)\pm\wurzel{a^2-4a-3}[/mm]
Hmm, ich habe da etwas leicht Anderes heraus:
[mm] $x_{1,2}=-(a+1)\pm\sqrt{a^2-\red{2}a-3}$
[/mm]
Das kann man dann noch ein wenig anders schreiben, so dass eine evtl. Fallunterscheidung bzgl. a "einfacher" wird
[mm] $=-(a+1)\pm\sqrt{(a+1)(a-3)}$
[/mm]
>
> Kann ich das noch weiter auflösen oder wars das?
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 So 09.03.2008 | | Autor: | Rated-R |
Hi,
danke für deine schnelle Anwort. Jedoch komme ich nicht auf dein Ergebnis.
p=2(a+1) q=4(a+1)
[mm] -\bruch{2(a+1)}{2}\pm\wurzel{(\bruch{2(a+1)}{2})^2-4(a+1)}
[/mm]
[mm] -(a+1)\pm\wurzel{(a+1)^2-4a-4}
[/mm]
[mm] -(a+1)\pm\wurzel{a^2+1-4a-4}
[/mm]
[mm] -(a+1)\pm\wurzel{a^2-4a-3}
[/mm]
oder hab ich irgendwo einen Fehler drin?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:27 So 09.03.2008 | | Autor: | Blech |
> [mm]-(a+1)\pm\wurzel{(a+1)^2-4a-4}[/mm]
> [mm]-(a+1)\pm\wurzel{a^2+1-4a-4}[/mm]
[mm] $(a+1)^2\neq a^2+1$. [/mm] Oben steht's sogar noch =)
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