Quadratische Funktionen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:26 So 08.05.2005 | | Autor: | steel |
Hallo zusammen,
wir haben eine Aufgabe bekommen. Stellt euch vor ihr habt insgesamt
8m Stahl zur Verfügung für den Rahmen eines Aquariums wie gross
ist bei dieser Länge die optimale und maximale Grösse des Aquariums
vom Volumen her.
Ich hab mit solchen Aufgaben meine liebe Not. Könnte mir einer auf die
Sprünge helfen. Das ganze muss aber mittels einer Quadratsichen
Funktion oder Ergänzung gehen vielleicht auch mittels einer Parabel
aber irgendwie steig ich da nicht durch.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke schonmal
|
|
| |
|
Hallo
Ich kann mir die Aufgabe nicht zu eine quadratische Funktion zusammenbasteln.
Aber vielleicht helfen dir folgende Überlegungen:
Optimale Umfang bedeutet auch optimale Oberfläche;
Optimale Verhältnis von Oberfläche zu Volumen ist bei einer Kugel vorzufinden.
Wenn das auf ein Aquarium übertragen wird (8 Kanten), so ist optimale Form - Würfel.
Umfang U=a+b+c mit a,b,c= Seiten des Quaders
Volumen V=a*b*c
In deine Aufgabe a+b+c=8, bei einem Würfel a=b=c= [mm] \bruch{8}{3}
[/mm]
Somit ist die Seitenlänge des Würfels a= [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
[mm] V_{max} \approx [/mm] 0,296 m²
Natürlich, stimmt es nicht mit Diskussionsthema überein, aber vielleicht hilft es dir trotzdem.
MfG NanoSusi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:37 So 08.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo NanoSusi!
Der Umfang, oder besser hier: die Kantenlänge des Aquariums berechnet sich aber zu:
[mm] [center]$K_{Quader} [/mm] \ = \ 4a + 4b + 4c \ = \ 4*(a + b + c) \ = \ 8 \ m$[/center]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Hallo Steel,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
>
> wir haben eine Aufgabe bekommen. Stellt euch vor ihr habt
> insgesamt
> 8m Stahl zur Verfügung für den Rahmen eines Aquariums wie
> gross
> ist bei dieser Länge die optimale und maximale Grösse des
> Aquariums
> vom Volumen her.
>
Bist du sicher, dass du den Aufgabentext hier exakt wiedergegeben hast?
Oder sollte eine der Seitenflächen vielleicht quadratisch sein?
> Ich hab mit solchen Aufgaben meine liebe Not. Könnte mir
> einer auf die
> Sprünge helfen. Das ganze muss aber mittels einer
> Quadratsichen
> Funktion oder Ergänzung gehen vielleicht auch mittels
> einer Parabel
> aber irgendwie steig ich da nicht durch.
>
Grundsätzlich stellt man sich zunächst mal die Aussagen des Textes in Formeln zusammen:
8m Stahl für die Kanten [mm] \Rightarrow [/mm] K = 8 [m] = 4 (a+b+c) , wenn mit a, b, c die Länge der einzelnen Kanten beschrieben wird.
Volumen: V = a*b*c soll maximal werden. (was könnte denn optimal bedeuten?)
K = 8 = 4 (a+b+c) [mm] \Rightarrow [/mm] 2 = (a+b+c) (*)
V hängt ja von den Kantenlängen ab, aber von allen dreien! So etwas ist mit den Kenntnissen in der Schule nicht lösbar.
Aus (*) könnte man ja eine Variable freistellen, z.B. (**) a = 2-b-c, und das dann in V einsetzen.
Aber: dann bleiben immer noch 2 Variablen übrig, die von einander abhängen.
Wenn man jetzt noch wüßte, dass diese beiden Kanten gleich lang sind (b=c), dann wäre die Aufgabe zu lösen:
Setze in (**) b=c ein, dann gilt: a = 2-2b, damit gilt für das Volumen:
$V(b) = a * [mm] b^2 [/mm] = 2 [mm] (1-b)*b^2$
[/mm]
Diese Funktion könntest du mit einer Wertetabelle zeichnen und findest dann bestimmt heraus, für welches b das Volumen besonders groß wird.
Probier das mal, aber teile uns auch noch mit, ob man diese Annahme (b=c) überhaupt machen durfte.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:20 Mo 09.05.2005 | | Autor: | steel |
Hallo,
danke erstmal für eure Hilfe
stimmt das hatte ich vergessen es war ein rechteckiger Körper der
vorne quadratisch war und da stand auch vor a und nochmal a und
in der Tiefe also nach hinten hin an einer Seite b
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:42 Mo 09.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen steel,
Informix hat Dir ja bereits eine Zielfunktion für das Volumen für einen quadratischen Quader hergeleitet.
Auf Deine Bezeichnung der Kanten umgeschrieben (mit $a$ als Seitenlänge der Quadratseite) heißt sie:
$V(a) \ = \ 2 * (1-a) * [mm] a^2 [/mm] \ = \ [mm] 2a^2 [/mm] - [mm] 2a^3$
[/mm]
$b \ = \ 2 - 2a$
Deinem angegebenen Alter entnehme ich, daß Du auch bereits die Extremwertberechnung mit Differentialrechnung können könntest/solltest.
Das heißt nun, für diese Funktion die ersten beiden Ableitungen $V'(a)$ und $V''(a)$ bilden und die Nullstellen der 1. Ableitung $V'(a)$ ermitteln:
[mm] $V'\left(a_E\right) [/mm] \ = \ 0 \ = \ ...$
Diese mögliche Extremstelle(n) [mm] $a_E$ [/mm] dann in die 2. Ableitung einsetzen, um die Art des Extremums zu bestimmen. Für ein Maximum sollte gelten:
[mm] $V''\left(a_E\right) [/mm] \ < \ 0$
Wenn Du dieses Verfahren nicht kennst, mußt Du es wohl oder übel (wie Informix bereits schrieb) über eine Wertetabelle und Probieren herausfinden.
Gruß
Loddar
|
|
|
|
