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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Quadratische Gleichung
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Quadratische Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:34 Mo 20.12.2010
Autor: Theoretix

Aufgabe
Lösen Sie für z [mm] \in \IC [/mm] die quadratische Gleichung:

[mm] z^2+(2i-3)z+5-i=0 [/mm]

und machen Sie sich dabei klar, wie man aus einer komplexen Zahl die Quadratwurzel zieht.

Hallo zusammen,

darf man hier als Ansatz wie gewohnt die „Mitternachtsformel“ für quadratische Gleichungen anwenden, also die Gleichung wie eine reelle behandeln?

Falls ja, hätte ich doch:

[mm] z_{1,2}=\bruch{-(2i-3)\pm\wurzel{(2i-3)^{2}-4*(5-i)}}{2} [/mm]

(?)

Das nächste Problem wäre nun, wie man aus einer komplexen Zahl die Wurzel zieht?
Muss man eine andere Darstellung wie z.B. [mm] z=e^{i\phi} [/mm] wählen? habe noch keinen brauchbaren Ansatz und wäre für Hilfe dankbar!

Liebe Grüße

        
Bezug
Quadratische Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:43 Mo 20.12.2010
Autor: qsxqsx


> Lösen Sie für z [mm]\in \IC[/mm] die quadratische Gleichung:
>  
> [mm]z^2+(2i-3)z+5-i=0[/mm]
>  
> und machen Sie sich dabei klar, wie man aus einer komplexen
> Zahl die Quadratwurzel zieht.
>  Hallo zusammen,
>  
> darf man hier als Ansatz wie gewohnt die
> „Mitternachtsformel“ für quadratische Gleichungen
> anwenden, also die Gleichung wie eine reelle behandeln?

Ja.

>  
> Falls ja, hätte ich doch:
>  
> [mm]z_{1,2}=\bruch{-(2i-3)\pm\wurzel{(2i-3)^{2}-4*(5-i)}}{2}[/mm]
>  
> (?)
>  
> Das nächste Problem wäre nun, wie man aus einer komplexen
> Zahl die Wurzel zieht?
>  Muss man eine andere Darstellung wie z.B. [mm]z=e^{i\phi}[/mm]
> wählen? habe noch keinen brauchbaren Ansatz und wäre für
> Hilfe dankbar!

Das siehst du richtig. Zuerst solltest du aber den Term unter der Wurzel mal zuerst vereinfachen, und zwar so dass du nur noch [mm] \wurzel{a + ib} [/mm] hast.
Dann kannst du diese Komplexe Zahl a + ib versuchen in Polarform zu schreiben.

Gruss

>  
> Liebe Grüße


Bezug
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