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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:38 Di 29.03.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | | Finden Sie A,B in [mm] $\IR[/mm] [t]$ mit [mm] $A(t)t^{2}+B(t)(t-3)=1$ [/mm] |
Hallo,
wenn ich das auflöse wie eine "normale" quadratische Gleichung, dann komme ich auf:
$a= [mm] \frac{1}{9}$,$b=\frac{-2}{3}$,$x=3$
[/mm]
Was stimmt, aber ich frage mich ob das überhaupt gefragt war???
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
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> Finden Sie A,B in [mm]\IR[/mm] [t][/mm] mit [mm]A(t)t^{2}+B(t)(t-3)=1[/mm][/mm]
> Hallo,
>
> wenn ich das auflöse wie eine "normale" quadratische Gleichung,
Hallo,
???
Es geht hier nicht um die Lösungen von quadratischen Gleichungen.
[mm] \IR[/mm] [t] ist die Menge der Polynome mit Koeffizienten aus [mm] \IR.
[/mm]
Du sollst zwei Polynome A und B angeben , so daß [mm] $A(t)t^{2}+B(t)(t-3)=1$
[/mm]
Gruß v. Angela
> dann komme ich auf:
>
> [mm]a= \frac{1}{9}[/mm],[mm]b=\frac{-2}{3}[/mm],[mm]x=3[/mm]
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> Was stimmt, aber ich frage mich ob das überhaupt gefragt war???
>
>
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> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
>
> Danke und Gruss
>
> kushkush
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:42 Di 29.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
> polynome angeben
Wie komme ich denn darauf, das einzige was ich weiss ist wie man quadratische Gleichungen löst. Das funktioniert aber nur mit Konstanten a und b und nicht mit Funktionen. Oder soll ich setzen $A(t):=a$ und $B(t):=b$ und dann die allgemeine Lösung angeben und nach a und b umformen???
> GruB
Danke
Gruss
kushkuhs
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Hallo kushkush,
> Hallo,
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> > polynome angeben
>
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> Wie komme ich denn darauf, das einzige was ich weiss ist
> wie man quadratische Gleichungen löst. Das funktioniert
> aber nur mit Konstanten a und b und nicht mit Funktionen.
> Oder soll ich setzen [mm]A(t):=a[/mm] und [mm]B(t):=b[/mm] und dann die
> allgemeine Lösung angeben und nach a und b umformen???
>
Hier musst Du schon allgemein ansetzen:
[mm]A\left(t\right)=\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}*t^{k}[/mm]
[mm]B\left(t\right)=\summe_{k=0}^{\infty}b_{k}*t^{k}[/mm]
Diese in die Gleichung einsetzen
und dann einen Koeffizientenvergleich durchführen.
>
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> > GruB
>
> Danke
>
> Gruss
> kushkuhs
Gruss
MathePower
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Moin kushkush,
ein paar Ergänzungen.
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> Finden Sie A,B in $ [mm] $\IR [/mm] $ [t]$ mit $ [mm] $A(t)t^{2}+B(t)(t-3)=1$ [/mm] $
> Wie komme ich denn darauf [...]
Du kannst Werte für t einsetzen (die Gleichung muss für alle t gelten).
Für t=0 gilt mit Mathepowers allgemeinen Ansatz [mm] A(t)=a_1, B(t)=b_1:
[/mm]
Also [mm] a_1 0^2+ b_1(0-3)=1 \Rightarrow b_1=-1/3
[/mm]
usw. zum Beispiel sind t=1,3,-1,... potentiell interessante Werte
Lass dich von dem allgemeinen Ansatz nicht zu sehr ablenken, es gibt wahrscheinlich Lösungspolynome mit sehr niedrigem Grad. Siehe Bemerkung unten. Eventuell hilft es auch einen Ansatz zu wählen, sodass A(t) und B(t) nur 2/3. Grad etc. haben.
Wenn du meinst eine Lösung gefunden zu haben, muss du beweisen, dass die Gleichung dann für alle t gilt.
LG
P.S: (Anmerkung) Du kannst dir anfangs auch allgemeine Eigenschaften der Polynome überlegen, um die moeglichen Kandidaten einzuschränken.
Auf der linken Seite müssen sich alle von t abhängigen Komponenten aufheben. Es folgt [mm] Grad\,A(t)=Grad\,B(t)-1. [/mm]
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> Finden Sie A,B in [mm]\IR[/mm] [t][/mm] mit [mm]A(t)t^{2}+B(t)(t-3)=1[/mm][/mm]
Hallo,
ich hab' mich gerade ein wenig mit meinem Raben Abraxas beraten.
Er meint, die Aufgabe kommt aus dem Dunstkreis "Teilbarkeit".
Wenn dies wirklich so ist, dann helfen Dir diese Tips:
1. Die Polynome [mm] t^2 [/mm] und (t-1) sind teilerfremd.
2. Lemma von Bezout. Dieses garantiert Dir, daß Du Polynome A(t) und B(t) wie oben angegeben findest.
3. Du findest sie mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Mi 30.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Mathepower kamaleonti und Angela,
> Koeffizientenvergleich
[mm] $t^{2}\sum_{k=0}^{\infty} a_{k} t^{k}+t\sum_{k=0}^{\infty}b_{k}t^{k}-3\sum_{k=0}^{\infty}b_{k}t^{k}=1$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow t^{2}\sum_{k=0}^{\infty} a_{k} t^{k}+t\sum_{k=0}^{\infty}b_{k}t^{k}=0$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \sum_{k=0}^{\infty}a_{k}t^{k+1}=-\sum_{k=0}^{\infty}b_{k}t^{k}
[/mm]
und [mm] $-3\sum_{k=0}^{\infty}b_{k}t^{k}=1$
[/mm]
dann stecke ich fest.
> setze wenn du eine lösung hast t=-1,1,3
> teilerfremd
[mm] $t^{2}$ [/mm] und $(t-3)$ oder wie kommt man auf (t-1)??
> bezout
bezout hat die form:
$st+bt=1$
das heisst mein euklid läuft auf eine polynomdivison :
[mm] $t^{2}: [/mm] t-3 = t+3 rest 9.
[mm] $t^{2}-3t$
[/mm]
$\ \ 3t$
$\ \ 3t-9$
$-9$
wie behandle ich den Rest 9?
> Gruss
> LG
>GruB
Danke.
Gruss
kushkush
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Hallo kushkush,
> Hallo Mathepower kamaleonti und Angela,
>
> > Koeffizientenvergleich
>
> [mm]t^{2}\sum_{k=0}^{\infty} a_{k} t^{k}+t\sum_{k=0}^{\infty}b_{k}t^{k}-3\sum_{k=0}^{\infty}b_{k}t^{k}=1[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow t^{2}\sum_{k=0}^{\infty} a_{k} t^{k}+t\sum_{k=0}^{\infty}b_{k}t^{k}=0[/mm]
>
> [mm]$\Rightarrow \sum_{k=0}^{\infty}a_{k}t^{k+1}=-\sum_{k=0}^{\infty}b_{k}t^{k}[/mm]
>
> und [mm]-3\sum_{k=0}^{\infty}b_{k}t^{k}=1[/mm]
>
> dann stecke ich fest.
>
>
> > setze wenn du eine lösung hast t=-1,1,3
>
> > teilerfremd
>
> [mm]t^{2}[/mm] und [mm](t-3)[/mm] oder wie kommt man auf (t-1)??
>
> > bezout
> bezout hat die form:
>
> [mm]st+bt=1[/mm]
>
> das heisst mein euklid läuft auf eine polynomdivison :
>
> [mm]$t^{2}:[/mm] t-3 = t+3 rest 9.
> [mm]t^{2}-3t[/mm]
> [mm]\ \ 3t[/mm]
> [mm]\ \ 3t-9[/mm]
> [mm]-9[/mm]
>
> wie behandle ich den Rest 9?
Jetzt kannst Du das so schreiben:
[mm]1*\blue{t^{2}}-\left(t+3\right)*\blue{\left(t-3\right)}=9[/mm]
Damit erkennst Du die Polynome A(t) und B(t).
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> > Gruss
> > LG
> >GruB
>
> Danke.
>
> Gruss
> kushkush
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:27 Do 31.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Mathepower,
> Jetzt kannst du
Danke!
> Gruss
Gruss
kushkush
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