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Hallo allerseits,
ich hänge beim Berechnen von Schnittpunkten zwischen einer Geraden und einer Parabel.
Folgende Aufgabe:
Funktion 1)
[mm] =-0,5(x+2)^2+3
[/mm]
Funktion 2)
=0,5x
Gehe ich richtig in der Annahme, daß es sich bei der ersten Funktionsgleichung um die Parabel handelt (da die Klammer hoch 2 steht)
und die zweite Funktionsgleichung die Gerade ist.???
Ich habe mir nun gedacht, um die Schnittpunkte zu ermitteln muß ich die Gleichungen gleichsetzten.
Wie bei der Berechnung der Schnittpunkte bei Geraden.
Also lautet der Lösungsansatz wie folgt:
[mm] -0,5(x+2)^2+3 [/mm] = 0,5x /-3
[mm] -0,5(x+2)^2 [/mm] = 0,5x-3 /-0,5x
[mm] -0,5(x+2)^2-0,5x [/mm] = -3 /: (-0,5)
Also irgendwie glaube ich, daß mein Lösungsansatz falsch ist...
Kann mir irgendjemand helfen und überprüfen ob der Weg bis hierher richtig war??
Danke im Voraus.
Gruß,
Stephan
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Hi
> Hallo allerseits,
>
> ich hänge beim Berechnen von Schnittpunkten zwischen einer
> Geraden und einer Parabel.
> Folgende Aufgabe:
>
> Funktion 1)
> [mm]=-0,5(x+2)^2+3[/mm]
>
> Funktion 2)
> =0,5x
>
> Gehe ich richtig in der Annahme, daß es sich bei der ersten
> Funktionsgleichung um die Parabel handelt (da die Klammer
> hoch 2 steht)
> und die zweite Funktionsgleichung die Gerade ist.???
Ja genau, die erste ist die Parabel.
>
> Ich habe mir nun gedacht, um die Schnittpunkte zu ermitteln
> muß ich die Gleichungen gleichsetzten.
> Wie bei der Berechnung der Schnittpunkte bei Geraden.
>
> Also lautet der Lösungsansatz wie folgt:
>
> [mm]-0,5(x+2)^2+3[/mm] = 0,5x /-3
>
> [mm]-0,5(x+2)^2[/mm] = 0,5x-3 /-0,5x
>
> [mm]-0,5(x+2)^2-0,5x[/mm] = -3 /: (-0,5)
Soweit ist das richtig, du kannst jetzt einfach mal -0,5 ausklammer, dann hast du
[mm] -0,5((x+2)^{2}+x) [/mm] = -3
dann mal (-0,5) ergibt
[mm] (x+2)^{2}+x=6
[/mm]
ausrechnen liefert dir
[mm] x^{2}+4x+4+x=6 [/mm]
Das ist jetzt eine quadratische Gleichung die du aurechnen kannst.
LG
Britta
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Hallo Stromberg!!! Und willkommen im Matheraum!!!!!!!!!!!!!!!
Deine Annahme, es hadele sich um eine Parabel und eine Gerade stimmt natürlich total!
Erste Funktion: (ich nenne sie [mm] f [/mm] )
Zweite Funktion: (ich nenne sie [mm] g [/mm] )
Also
[mm] f(x)=-0,5*(x+2)²+3 [/mm]
und
[mm] g(x)=0,5x [/mm]
So, nun ist deine weitere Idde, sie gleichzusetzen auch eine super Idee!
Wir setzen also [mm] f(x) [/mm] und [mm] g(x) [/mm] gleich.
Wir erhalten:
[mm] -0,5*(x+2)²+3=0,5x [/mm]
Wir multiplizieren zuerst alles aus, lösen also die Klammer auf und so weiter!
Dann ergibt sich:
[mm] -0,5*(x²+4x+4)+3=0,5x [/mm]
Die Klammer ist ein Binom! (Binmoische Formeln!!!!)
[mm] -0,5x²-2x-2+3=0,5x [/mm]
Nun fassen wir zuerst mal weiter zusammen! Also die "richtigen" Zahlen:
[mm] -0,5x²-2x+1=0,5x [/mm]
Wir brigen nun die [mm] 0,5x [/mm] rüber!
[mm] -0,5x²-2,5x+1=0 [/mm]
Nun noch durch -0,5 teilen! (Damit wir die Normalform erhalten!!!)
[mm] x²+5x-2=0 [/mm]
Wir haben also eine quadrtische Gleichung. Diese Lösen wir nach der p-q Formel:
[mm] x_1/2=\left( \bruch{-p}{2} \right)\pm\wurzel{\left( \bruch{p}{2} \right)²-q} [/mm]
Nun setzen wir ein:
[mm] x_1/2=\left( \bruch{-5}{2} \right)\pm\wurzel{\left( \bruch{5}{2} \right)²-(-2)} [/mm]
Wir erhalten die Lösungen:
[mm] x_1=-2,5-\wurzel{8,25} [/mm]
[mm] x_2=-2,5+\wurzel{8,25} [/mm]
Was bringt dies aber nun? Die Antwort ist einfach!
Wir haben die x- Werte der Schnittpunkt gefunden!
Nun müssen, da ein Punkt aus zwei Koordianten besteht, wir auch die y- Werte berechnen. Dies machen wir, durch das Einsetzen unserer beiden x- Werte in einen der beiden Funktionsgleichungen , da bei beiden Gleichungen gleiche y- Werte enstehen müssen.
Gesagt, getan! (Ich setze nun der Einfachheit wegen, in die Funktionsgeleichung der Funktion [mm] g [/mm] ein!
[mm] g(x)=0,5*(-2,5-\wurzel{8,25}) [/mm]
Man erhält:
[mm] g(x)=-1,25+0.5*\wurzel{8,25}) [/mm]
Dies ist also der y- Wert des ersten Schnittpunktes, wir haben also einen Schnittpunkt gefunden:
[mm] P_1\left(-2,5-\wurzel{8,25} |-1,25-0.5*\wurzel{8,25}\right) [/mm]
Nun müssen wir noch den zweiten y- Wert des zweiten Schnittpunkts berechnen! Das machen wir genau so:
[mm] g(x)=0,5*(-2,5+\wurzel{8,25}) [/mm]
Daraus folgt dann:
[mm] g(x)=-1,25+0,5*\wurzel{8,25}\right) [/mm]
Nun haben wir den zweiten Schnittpunkt gefunden:
[mm] P_2\left(-2,5+\wurzel{8,25} |-1,25+0.5*\wurzel{8,25}\right) [/mm]
Wir haben also beide Schnittpunkt der Graphen der Funktionen [mm] f [/mm] und [mm] g [/mm], der Parabel und der Geraden gefunden!
Wenn man sie, wie ich, mit [mm] P_1 [/mm] und [mm] P_2 [/mm] bezeichnet, so heißen sie:
[mm] P_1\left(-2,5-\wurzel{8,25} |-1,25-0.5*\wurzel{8,25}\right) [/mm]
und
[mm] P_2\left(-2,5+\wurzel{8,25} |-1,25+0.5*\wurzel{8,25}\right) [/mm]
Ich hoffe, diese Erläuterungen können dir helfen, diese Berechnung besser zu verstehen und darin sicherer zu werden!!!!
Mit vielen, guten Grüßen
Goldener_Sch.
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