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Forum "komplexe Zahlen" - Quadratische Gleichungen
Quadratische Gleichungen < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Quadratische Gleichungen: Tipp/Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:41 Mi 10.04.2013
Autor: frage2009

Aufgabe
Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden komplexen Gleichungen:
z E C

c) [mm] z^2 [/mm] = -21 + 20i

Hallo,
derzeit macht uns unsere Lehrerin mit den komplexen Zahlen vertraut und im Zuge dessen soll jeder Kurskamerad ein Thema übernehmen. Meines ist die Berechnung quadratischer Gleichungen.

Ich habe mich bereits im Internet informiert und diverse Beispielaufgaben gerechnet (waren alle richtig).
Berechnet habe ich die quadratischen Gleichung immer mit der Mitternachtsformel. Nun bin ich auf die zuvor genannte Aufgabe gestoßen und komme zu keiner Lösung.
Damit man z rausbekommt, muss man ja den Term rechts neben dem Gleich-Zeichen in eine Wurzel setzen. [mm] (\wurzel{-21+20i}) [/mm] Dabei kommt jedoch immer ein MathError auf meinem Taschenrechner. Kann mir jemand weiterhelfen?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
Quadratische Gleichungen: Antwort (nicht fertig)
Status: (Antwort) noch nicht fertig Status 
Datum: 17:57 Mi 10.04.2013
Autor: leduart

hallo
Kann denn dein TR mit komplexen Zahlen rechnen_
Wenn man das einfach in einen dazu geeigneten TR eingibt, hat man ja keine Erkläung für das Ergebnis, und das willst du doch erarbeiten?
Kennst du die Darstellung der komplexen Zahlen als [mm] z=r*(cos\phi+i*sin\phi) [/mm]
dann ist [mm] \wurzel{z}=\wurzel{r}*(cos(\phi/2)+isin(\phi/2)) [/mm]
sinst musst du anders rechnen
z=x+iy
[mm] z^2=x^2-y^2+2ixy [/mm]
dann hast du
[mm] x^2-y^2+2ixy=-21+20i [/mm]
da Realteil und Imagiärteil einzeln gleich sein Müssen
also [mm] x^2-y^2=-21 [/mm]
2xy=20
daraus kann man x und y ausrechnen.

vielleicht sagst du mal, welche Beispiele von komplexen quadratischen Gleichungen du konntest. wenigstens ein Bsp-
Gruss leduart


Bezug
        
Bezug
Quadratische Gleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:58 Mi 10.04.2013
Autor: MathePower

Hallo frage2009,

[willkommenmr]


> Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden komplexen
> Gleichungen:
>  z E C
>  
> c) [mm]z^2[/mm] = -21 + 20i
>  Hallo,
>  derzeit macht uns unsere Lehrerin mit den komplexen Zahlen
> vertraut und im Zuge dessen soll jeder Kurskamerad ein
> Thema übernehmen. Meines ist die Berechnung quadratischer
> Gleichungen.
>  
> Ich habe mich bereits im Internet informiert und diverse
> Beispielaufgaben gerechnet (waren alle richtig).
>  Berechnet habe ich die quadratischen Gleichung immer mit
> der Mitternachtsformel. Nun bin ich auf die zuvor genannte
> Aufgabe gestoßen und komme zu keiner Lösung.
> Damit man z rausbekommt, muss man ja den Term rechts neben
> dem Gleich-Zeichen in eine Wurzel setzen.
> [mm](\wurzel{-21+20i})[/mm] Dabei kommt jedoch immer ein MathError
> auf meinem Taschenrechner. Kann mir jemand weiterhelfen?
>  


Du kannst [mm]z=a+b*i, \ a,b \in \IR[/mm] setzen

Durch Vergleich von Real- und Imaginärteil der GLeichung
erhältst Du dann ein Gleichungssystem für a und b.


> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt


Gruss
MathePower

Bezug
        
Bezug
Quadratische Gleichungen: Idee
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:08 Mi 10.04.2013
Autor: PowerBauer

Kann man nicht einfach mit Hilfe von i²=-1 die Gleichung so umformen, das man eine quadratische Gleichung bekommt:

z²=21i²+20i

und diese dann mit quadr. Ergänzung löst?

Bezug
                
Bezug
Quadratische Gleichungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:12 Mi 10.04.2013
Autor: fred97


> Kann man nicht einfach mit Hilfe von i²=-1 die Gleichung
> so umformen, das man eine quadratische Gleichung bekommt:
>  
> z²=21i²+20i
>  
> und diese dann mit quadr. Ergänzung löst?

Ich hab keine Ahnung, wie Du Dir das vorstellst. Aber ich bin lernfähig, also rechne mal vor !

FRED

Bezug
                        
Bezug
Quadratische Gleichungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:17 Mi 10.04.2013
Autor: PowerBauer

z²=21i²+20i + 4 - 4  (=addiere 0)

z² = 21i² + 20i + 4 + 4i²  (wieder i²=-1)

z² = 25i² + 20i + 4 = (2 + 5i)²

.......einverstanden?

Bezug
                                
Bezug
Quadratische Gleichungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:22 Mi 10.04.2013
Autor: fred97


> z²=21i²+20i + 4 - 4  (=addiere 0)
>  
> z² = 21i² + 20i + 4 + 4i²  (wieder i²=-1)
>  
> z² = 25i² + 20i + 4 = (2 + 5i)²
>  
> .......einverstanden?

Das ist O.K. !  

FRED


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