Quadratische Matrix < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:24 Fr 20.07.2007 | | Autor: | error1 |
| Aufgabe | [mm] I_{n} [/mm] bezeichne die EInheitsmatrix des [mm] \IR^{n x n}. [/mm] Zeigen sie mittels vollständiger Induktion nach n [mm] \in \IN, [/mm] daß für alle quadratischen Matrizen A gilt:
det [mm] \pmat{I_{n} & 0 \\ 0 & A } [/mm] = det [mm] \pmat{A & 0 \\ 0 & I_{n} } [/mm] = det(A) |
Danke
error
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> [mm]I_{n}[/mm] bezeichne die EInheitsmatrix des [mm]\IR^{n x n}.[/mm] Zeigen
> sie mittels vollständiger Induktion nach n [mm]\in \IN,[/mm] daß für
> alle quadratischen Matrizen A gilt:
> det [mm]\pmat{I_{n} & 0 \\ 0 & A }[/mm] = det [mm]\pmat{A & 0 \\ 0 & I_{n} }[/mm]
> = det(A)
> Danke
>
> error
Hi,
Hast du schon mal die Regeln dieses Forums gelesen? Das hier ist keine Aufgabenlösungsmaschine, hier wird beiderseits Rücksicht verlangt, will heißen, dass du, wenn du Weiterkommen erwartest, auch eigene Ansätze zeigen sollst, oder wenigstens uns sagst, wo es genau hapert.
Grüße, Stefan.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:50 Fr 20.07.2007 | | Autor: | error1 |
das ist mir schon klar.Leider habe ich keinen wirklichen Ansatz
sonst hätte ich sicherlich versucht einen hier hin zu schreiben.
ich hoffe ud hilfst mir trotzdem vielleicht auch nur mit einem kleinen denkanstoß
danke
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> das ist mir schon klar.Leider habe ich keinen wirklichen
> Ansatz
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> sonst hätte ich sicherlich versucht einen hier hin zu
> schreiben.
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> ich hoffe ud hilfst mir trotzdem vielleicht auch nur mit
> einem kleinen denkanstoß
Du sollst also "mittels vollständiger Induktion" beweisen, dass für alle [mm] $n\in \IN$ [/mm] und alle quadratischen Matrizen $A$ gilt:
[mm]\mathrm{det}\pmat{I_n & 0 \\ 0 & A } = \mathrm{det}\pmat{A & 0 \\ 0 & I_{n} } = \mathrm{det}(A)[/mm]
"Induktionsanfang": Du beginnst mit dem Fall n=1 (ich lasse den Fall n=0 weg: den kann man entweder als ausgeschlossen oder als trivialerweise erfüllt auffassen: interessant wird's erst ab n=1). In diesem Falle, n=1, lautet die Behauptung:
[mm]\mathrm{det}\pmat{1 & 0 \\ 0 & A } = \mathrm{det}\pmat{A & 0 \\ 0 & 1 } = \mathrm{det}(A)[/mm]
Dass diese Behauptung wahr ist, zeigst Du einfach durch Entwickeln der ersten beiden Determinanten nach der ersten bzw. nach der letzten Zeile.
Dann musst Du zeigen, dass, unter der Voraussetzung, dass die Behauptung für $n$ wahr ist ("Induktionsvoraussetzung"), folgt, dass sie auch für $n+1$ wahr ist. Dies kannst Du in etwa so beweisen:
[mm]\mathrm{det}\pmat{I_ {n+1} & 0 \\ 0 & A } =\mathrm{det}\pmat{1 & 0 & 0\\ 0 & I_n & 0\\ 0 & 0 & A} = \mathrm{det}\pmat{I_n & 0\\ 0 & A}=\mathrm{det}(A)[/mm]
Wobei das erste Gleichheitszeichen wegen
[mm]I_{n+1}=\pmat{1 &0\\0&I_n}[/mm]
und das zweite Gleichheitszeichen aufgrund der Induktionsvoraussetzung gilt.
Ganz analog beweist Du, dass gilt:
[mm]\mathrm{det}\pmat{A& 0 \\ 0 & I_{n+1} } = \ldots = \mathrm{det}(A)[/mm]
Hast Du dies gezeigt, kannst Du schliessen, dass die Behauptung für alle [mm] $n\in \IN$ [/mm] gilt.
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