Quadratische Matrix mit AB=I < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei R ein Integritätsring. Sei A ∈ [mm] R^{nxn}, [/mm] also eine quadratische Matrix mit Einträgen in R. Zeigen Sie, dass genau dann ein B ∈ [mm] R^{nxn} [/mm] mit AB = I existiert, wenn det A eine Einheit in R ist. |
Hallo Leute
Mein Kollege und ich haben folgenden Beweis aufgeschrieben und wir bräuchten mal kurz eure Hilfe um meinen Beweis mal zu überprüfen....
Behauptung:
Es existiert ein B ∈ $ [mm] R^{nxn} [/mm] $ mit A⋅B=I genau dann, wenn detA eine Einheit in R
Beweis:
"⇒"
Sei B ∈ [mm] R^{nxn} [/mm] mit A*B=I geben, dann wissen Wir A ist in GLn(K) denn A ist offensichtlich invertierter. So definiere man B:=A−1⇒ nach D10 Eigenschaften für Determinanten, das detA ≠ 0 und detB ≠ 0 also gilt mit D11 das det(I)=det(A*B)=det(A)*det(B)=1=det(B)*det(A) ⇒ das det(A) eine Einheit ist.
[mm] \Leftarrow
[/mm]
Sei det(A) eine Einheit in R dann gilt es existiert ein det(B) ∈ [mm] R^{nxn} [/mm] so das gilt det(A)det(B)=1=det(B)det(A)⇒det(A)det(B)=det(I)⇒A⋅B=I
Q.E.D
Ist das so richtig? Ist wirklich wichtig, da ich es am Montag schon abgeben muss!
LG DerPinguinagent
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:20 So 17.01.2016 | | Autor: | hippias |
> Sei R ein Integritätsring. Sei A ∈ [mm]\IR^{nxn},[/mm] also eine
> quadratische Matrix mit Einträgen in R. Zeigen Sie, dass
> genau dann ein B ∈ [mm]\IR^{nxn}[/mm] mit AB = I existiert, wenn
> det A eine Einheit in R ist.
>
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> Hallo Leute
>
> Mein Kollege und ich haben folgenden Beweis aufgeschrieben
> und wir bräuchten mal kurz eure Hilfe um meinen Beweis mal
> zu überprüfen....
>
> Behauptung:
>
> Es existiert ein B ∈ [mm]\IR^{nxn}[/mm] mit A⋅B=I genau dann,
> wenn detA eine Einheit in R
>
> Beweis:
>
> "⇒"
Richtig, der Beweis hat zwei "Richtungen".
>
> Sei B ∈ [mm]\IR^{nxn}[/mm] mit A*B=I geben, dann wissen Wir A ist
> in GLn(K) denn A ist offensichtlich invertierter.
Ich wage zu bezweifeln, dass das offensichtlich ist. Ich bin mir ganz sicher, dass $A$ als invertierbar definiert wurde, wenn es ein $B$ gibt, sodass $AB=I$ UND $BA= I$ gilt. Wurde in der Vorlesung bewiesen, dass Invertierbarkeit aus einseitiger Invertierbarkeit folgt?
> So
> definiere man B:=A−1⇒ nach D10 Eigenschaften für
> Determinanten, das detA ≠ 0 und detB ≠ 0 also gilt mit
> D11 das det(I)=det(A*B)=det(A)*det(B)=1=det(B)*det(A) ⇒
> das det(A) eine Einheit ist.
Ich kann natürlich nichts zu den einzelnen zitierten Determinanteneigenschaften sagen, aber vom Kontext her scheinen sie zu passen.
Aber: Deine Argumentation beruht eben auf der Invertierbarkeit von $A$, die nicht vorausgesetzt ist, noch von Dir bewiesen wurde.
Das Problem lässt sich aber ganz leicht lösen, indem Du einfach mal mit [mm] $\det(I)=\det(A*B)= \ldots$ [/mm] anfängst.
>
> [mm]\Leftarrow[/mm]
>
> Sei det(A) eine Einheit in R dann gilt es existiert ein
> det(B) ∈ [mm]\IR^{nxn}[/mm]
Nein, das ist nicht gut. Wieso sollte die Inverse von [mm] $\det(A)$ [/mm] in $R$ von der Gestalt [mm] $\det(B)$ [/mm] sein?
Ich kann nur raten, was Du über Determinanten gelernt hast, aber vielleicht habt ihr eine ähnliche Aussage für Körper bewiesen. Dann würde ich Dir raten den Beweis zu imitieren.
> so das gilt
> det(A)det(B)=1=det(B)det(A)⇒det(A)det(B)=det(I)⇒A⋅B=I
>
Achtung: aus [mm] $\det(X)= \det(Y)$ [/mm] folgt NICHT $X= Y$.
> Q.E.D
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> Ist das so richtig? Ist wirklich wichtig, da ich es am
> Montag schon abgeben muss!
Das ist ja wohl Dein Problem.
>
> LG DerPinguinagent
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Um die Invertierbarkeit nach zu weisen reicht nach deinem Tip also:
det(I)=det(A*B)= det(A)*det(B) => det(A) ≠ 0 und det(B) ≠0 => A und B sind inveriterbar da det(I)=1.... und daraus ergibt sich ja der rest.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:41 So 17.01.2016 | | Autor: | hippias |
Dem kann ich nicht recht folgen. Was hast Du vorausegesetzt, was willst Du damit beweisen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Di 19.01.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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