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| Aufgabe | Zeige, dass wenn b eine positive, gerade Zahl ist und -1 ein Quadrat modulo b ist, dann hat [mm] $x^2+y^2=b$ [/mm] eine ganzzahlige Lösung besitzt.
Zeigen Sie, dass falls ggT(n,m)=1 gilt: [mm] $a\; [/mm] R [mm] \; [/mm] m, [mm] a\; R\; [/mm] n [mm] \Rightarrow a\; R\; [/mm] mn$
Wir schreiben: [mm] $m\; R\; [/mm] n$ falls m ein Quadrat modulo n ist. |
Guten Tag zusammen,
ich sitze gerade an den obrigen Aufgaben, komme jedoch leider nicht weiter.
Ich habe bisher:
Wenn gilt -1 R b, heißt das ja, dass eine ganze Zahl k und ein x existiert mit [mm] $x^2=k*b-1$
[/mm]
Ich habe schon versucht das in das Polynom einzusetzen, jedoch komme ich hier auf kein Ergebnis.
ich würde mich sehr über ein paar Denkanstöße freuen.
Vielen Dank
Liebe Grüße
Dudi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Di 15.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Aufgabe | | Zeige, dass wenn b eine positive, gerade Zahl ist und -1 ein Quadrat modulo b ist, dass dann [mm] $X^2+Y^2=b$ [/mm] eine ganzzahlige Lösung besitzt. |
Guten Abend zusammen,
ich bearbeite gerade oben stehende Aufgabe.
Ich habe mir schon einige Gedanken gemacht, die bisher jedoch zu nichts geführt haben:
Da -1 quadr. mod b, folgt:
[mm] $\exists [/mm] a [mm] \; a^2\equiv [/mm] -1 [mm] \pmod [/mm] b$
Nun kann sich X und Y nur um eine ganze Zahl [mm] $n\in\mathbb{Z}$ [/mm] unterscheiden.
Setzen wir nun $Y:=X+n$ erhalten wir:
[mm] $X^2+(X+n)^2=2X^2+2Xn+n^2=b$
[/mm]
Hier habe ich dann versucht mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen etwas zu erreichen.
Jedoch habe ich nichts brauchbares heraus bekommen.
Ich weiß nicht, ob ich auf dem richtigen Weg bin oder nicht.
Hat hier vielleicht jemand einen Tipp für mich?
Vielen Dank
Liebe Grüße
Dudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:42 Do 17.01.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
im Prinzip ist das hier ein Doppelposting. Auch wenn deine ältere Frage auf 'Fälligkeit abgelaufen' umgestellt wurde: was hindert dich daran, dort eine neue Frage zu stellen, und sei es auch einfach nur ein Hinweis, dass du nach wie vor interessiert bist? So ist es vorgesehen, so sollte man es dann auch machen. Siehe dazu auch die Forenregeln.
Ich möchte jetzt hier nicht den Thread abwürgen, deswegen würde ich sagen, für diesesmal mache hier weiter. Aber bitte bedenke das oben geschriebene beim nächsten Mal. Ganz nebenbei kann man auch, wenn eine Fälligkeit abläuft oder auch schon abgelaufen ist, einen beliebigen Moderator bitten, diese zu verlängern.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:33 Do 17.01.2013 | | Autor: | DudiPupan |
Hallo diophant,
entschuldigung für den Doppelpost.
Ich habe versucht eine weitere Frage unter meinem alten Post zu stellen um die Frage wieder einzustellen, jedoch gab es diese Option unter "reagieren" meiner abgelaufenen Frage nicht.
Ich habe jetzt erst gesehen, dass ich das unter die Mitteilung hätte stellen müssen.
Jetzt weiß ich bescheid.
Vielen Dank, dass du den Thread nicht geschlossen hast.
Liebe Grüße
Dudi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Mo 21.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Also zum ersten Teil habe ich bis jetzt folgendes:
[mm] \\ {\it{1.Fall:}} [/mm] $b$ ist [mm] Quadratzahl\\
[/mm]
So besitzt die Gleichung auf jeden Fall eine ganzzahlige Lösung $(b,0)$ [bzw. $(0,b)$]. Also gehen wir im Folgenden davon aus, dass $b$ keine Quadratzahl ist und somit [mm] $\lfloor \sqrt{b}\rfloor\neq\sqrt{b}$ folgt.\\
[/mm]
[mm] \\{\it{2.Fall:}} [/mm] $b$ ist keine [mm] Quadratzahl\\
[/mm]
Wir suchen [mm] $x,y\in\mathbb{Z}:x^2+y^2\equiv 0\pmod b\mbox{ und } 0
Wir betrachten hier nun [mm] $(x,y)\in\{1,\ldots,\lfloor \sqrt{b} \rfloor\}^2$, [/mm] da der folgende Beweis auch für [mm] $(x,y)\in\{\lfloor \sqrt{b} \rfloor,\ldots , -1\}^2$, [/mm] da wir $x$ und $y$ letztendlich ja [mm] quadrieren\\
[/mm]
Somit haben wir [mm] $\left(\lfloor \sqrt{b} \rfloor +1\right)^2$ [/mm] verschiedene Paare $(x,y)$ die in Frage [mm] kommen.\\
[/mm]
Es gilt: [mm] $\sqrt{b}<\lfloor \sqrt{b} \rfloor +1\Leftrightarrow b<\left(\lfloor \sqrt{b} \rfloor+1\right)^2$\\
[/mm]
Somit existieren mehr Paare $(x,y)$ als Reste modulo [mm] $b$.\\
[/mm]
Das heißt, dass es mindestens zwei Paare [mm] $(x',y'),(x'',y'')\in\{0,1,\ldots,\lfloor \sqrt{b} \rfloor\}^2$ [/mm] geben muss, für die für ein beliebiges, festes [mm] $k\in\mathbb{Z}$ gilt:\\
[/mm]
[mm] $x'-ky'\equiv x''-ky''\pmod{b}$, [/mm] was äquivalent ist zu [mm] $x'-x''\equiv k(y'-y'')\pmod [/mm] b$
[mm] \\Setzen [/mm] wir nun [mm] $x=|x'-x''|,\;y=|y'-y''|$ [/mm] folgt: [mm] $0\leq x,y<\sqrt{b}$ [/mm] und [mm] $0
Sei nun $k$ das nach Voraussetzung existierende mit: [mm] $k^2\equiv -1\pmod b$.\\
[/mm]
Dann erhalten [mm] wir:\\
[/mm]
[mm] $x\equiv\pm ky\pmod b\Rightarrow x^2\equiv k^2y^2\Rightarrow x^2\equiv -y^2\pmod b\Rightarrow x^2+y^2\equiv 0\pmod b$.\\
[/mm]
Somit muss [mm] $x^2+y^2$ [/mm] ein Vielfaches von $b$ sein. Nach $(*)$ kommt aber nur in [mm] Frage:\\
[/mm]
[mm] $x^2+y^2=b$\\
[/mm]
Womit wir gezeigt haben, das die Gleichung eine ganzzahlige Lösung [mm] besitzt.\hfill $\square$ \\
[/mm]
Nun wurde mir aber gesagt, dass das Paar $(x,y)=(0,0)$ heraus genommen werden muss, da es unseren Bedingungen nicht genügt.
Nun hätte ich demnach aber [mm] $\left(\lfloor \sqrt{b} \rfloor +1\right)^2-1$ [/mm] Paare, womit meine Abschätzung oben nicht mehr gilt.
Nun habe ich als Tipp bekommen, dass ich den Fall betrachten kann, dass falls es ein $y=kx$ gibt, die Gleichung sofort erfüllt ist, und ich somit b-1 Reste annehmen kann.
Woher weiß ich jedoch, ob diese exisiteren?
Vielen Dank
Liebe Grüße
Dudi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Do 24.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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