Quadratischer Rest mod p < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei p eine Primzahl mit p>5. Zeige, dass die Gleichung [mm] x^2\equiv [/mm] 5(mod p)genau eine Lösung [mm] x\in \IZ [/mm] besitzt, wenn [mm] p\equiv \pm [/mm] 1(mod 5) ist. |
Hallo,
Ist [mm] x\in \IZ [/mm] eine Lösung von [mm] x^2\equiv [/mm] 5 (mod p), dann ist es äquivalent dazu dass [mm] \bigg(\bruch{5}{p}\bigg)=1, [/mm] d.h. 5 ist quadratische Rest modulo p [mm] \gdw \bigg(\bruch{p}{5}\bigg)=1 \gdw p\equiv \pm [/mm] 1 (mod 5).
Ist das richtig?
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Hiho,
erstmal: Die Formulierung deiner Frage ist falsch.
> Zeige, dass die Gleichung $ [mm] x^2\equiv [/mm] $ 5(mod p)genau eine Lösung $ [mm] x\in \IZ [/mm] $ besitzt, wenn $ [mm] p\equiv \pm [/mm] $ 1(mod 5) ist.
Bspw hat die Lösung für p=11=1 mod 5 zwei Lösungen.
Die Aufgabe soll wohl lauten:
> Zeige, dass die Gleichung $ [mm] x^2\equiv [/mm] $ 5(mod p) genau dann eine Lösung $ [mm] x\in \IZ [/mm] $ besitzt, wenn $ [mm] p\equiv \pm [/mm] $ 1(mod 5) ist.
> Ist [mm]x\in \IZ[/mm] eine Lösung von [mm]x^2\equiv[/mm] 5 (mod p), dann ist
> es äquivalent dazu dass [mm]\bigg(\bruch{5}{p}\bigg)=1,[/mm]
Warum sollte das gelten?
Gruß,
Gono
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Das habe aus einem Skript entnommen, denn da heißt es wenn es eine Lösung für [mm] x^2\equiv [/mm] a (mod p) gibt dann heißt es das a ein quadratischer Rest modulo p ist, also [mm] \bigg(\bruch{a}{p}\bigg)=1.(legendre [/mm] Symbol)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mi 22.05.2019 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Kann mir da niemand helfen bzw einen Tipp geben?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:47 Mi 22.05.2019 | | Autor: | hippias |
Das sieht gut aus. Begründe Deine Rechnung vielleicht genauer.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:20 Do 23.05.2019 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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