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Quadratrest: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:47 So 20.01.2013
Autor: rollroll

Aufgabe
Hallo, also ich soll folgendes zeigen:
a) 4 ist Quadratrest modulo 25
b) Bestimme alle Lösungen des Gleichungssystems [mm] x^2 \equiv [/mm] 4 mod 25 und [mm] x^2 \equiv [/mm] 4 mod 5.

Also zu a)

Man hat ja [mm] x^2 \equiv [/mm] 4 mod 25 und muss jetzt x so bestimmen, dass [mm] x^2-25 [/mm] durch 4 teilbar ist, oder. Geht das nur durch Ausprobieren? Z.b. wäre ja x=9 eine Lösung

zu b) Hier weiß ich leider gar nicht, wie ich vorgehen soll...

Danke schonmal für eure Hilfe!

        
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Quadratrest: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:16 So 20.01.2013
Autor: Teufel

Hi!

a) Hier hast du 4 und 25 vertauscht. Du suchst eine Zahl, sodass [mm] x^2-4 [/mm] durch 25 teilbar ist. Aber das sieht man ja durch hinsehen. :)

b) Es gilt doch: Ist [mm] $a\equiv [/mm] b [mm] \mod [/mm] n$ und $m|n$, dann folgt [mm] $a\equiv [/mm] b [mm] \mod [/mm] m$. Damit kannst du deine Aufgabe vereinfachen.

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Quadratrest: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:24 So 20.01.2013
Autor: rollroll

Naja, bei a) dann z.B. x=2, also 4-4=0 ist durch 25 teilbar. Geht das nur mit Ausprobieren bzw. scharfem Hinsehen? Wenns keine modulo-Rechnung wäre, könnte ich ja einfach durch Wurzelziehen die Gleichung [mm] x^2-4=25 [/mm] lösen.
Ist Teil a) damit schon gezeigt?

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Quadratrest: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:04 So 20.01.2013
Autor: Teufel

Ja also mit der a) bist du dann fertig. Und die Aufgabe war ja eine Lösung von [mm] x^2=4 [/mm] zu bestimmen im Wesentlichen. 4 ist ja schon eine Quadratzahl (in [mm] \IZ) [/mm] und weil das modulo 25 bei der kleinen Zahl egal ist, hat man auch hier direkt 2 als Lösung. Die andere wäre -2=23.

Ich kenne allerdings keinen guten Algorithmus um allgemein eine Wurzel modulo n zu ziehen, sorry. Meistens Klappt es aber ganz gut mit hingucken.

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Quadratrest: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:33 So 20.01.2013
Autor: rollroll

Sind 2 und 23 dann nicht auch zugleich die Lösung des Gleichungssystems in b) Oder gibt es noch weitere Lösungen?

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Quadratrest: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:08 So 20.01.2013
Autor: reverend

Hallo rollroll,

> Sind 2 und 23 dann nicht auch zugleich die Lösung des
> Gleichungssystems in b)

Richtig.

> Oder gibt es noch weitere
> Lösungen?

Nein, gibt es nicht.

Grüße
reverend


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Quadratrest: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:51 So 20.01.2013
Autor: rollroll

Hallo,

ok vielen Dank!

Gibt es allgemein einen Algorithmus, ein solches Gleichungssystem zu lösen?

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Quadratrest: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:31 Mo 21.01.2013
Autor: Teufel

Also zumindest mir ist keine vernünftiger Algorithmus bekannt, mit dem man das allgemein machen könnte. Aber bei so kleinen Werten kann man immer ganz gut hinschauen oder ein bisschen probieren.

Bezug
                                                                
Bezug
Quadratrest: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:51 Mo 21.01.2013
Autor: reverend

Hallo nochmal,

mir ist auch kein Algorithmus bekannt, wie Du ihn suchst.
Das heißt natürlich nicht, dass es keinen gibt - die Frage bleibt also offen, bis jemand besser informiertes Auskunft geben kann.

Grüße
reverend


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Quadratrest: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:11 Mo 21.01.2013
Autor: leduart

Hallo
[mm] x^2=4mod25 [/mm]
[mm] x^2-4=0 [/mm]
(x-2)*(x+2)=0
x=2 und x=-2 sind die Lösungen
das ist doch ein Alg. für Quadratzahlem  mod irgendwas.
Gruss leduart

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