Quadraturformel < Integr.+Differenz. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 12:24 So 15.01.2006 | | Autor: | Sienna |
| Aufgabe | Seien G ein n-dimensionaler Teilraum von C[a,b] und Knoten [mm]a \le x_1 < ...< x_n \le b [/mm] gegeben.
Eine Abbildung Q: C[a,b] [mm] \mapsto \IR [/mm] mit [mm] Q(f)= \summe_{i=1}^{n} a_i *f(x_i) , a_i \in \IR, i=1,...,n [/mm] heißt Quadraturformel. Eine Quadraturformel heißt exakt für G, wenn [mm] Q(g)= \integral_{a}^{b} {g(t) dt} g \in G [/mm].
Beweisen Sie: Sind [mm]a \le x_1 < ...< x_n \le b [/mm] so gewählt, dass für alle [mm] f \in C[a,b] [/mm] genau ein [mm] g_f \in G mit g_f(x_i)=f(x_i), i=1,...,n [/mm] existiert und sind [mm] g_i \in G, j=1,...,n [/mm] die eindeutigen Funktionen mit [mm] g_j (x_i) = \delta_ij i=1,...n [/mm] so dass die Quadraturformel
[mm] Q(f):= \summe_{j=1}^{n} ( \integral_{a}^{b} {g_j(t) dt} ) f(x_j) [/mm] |
Liebe Leute im Matheraum,
etwas spät, aber ich wünsche euch trotzdem ein schönes neues Jahr!
Also zu meiner oben gestellten Aufgabe habe ich einige Fragen.
Zunächst weiß ich nicht genau, wonach hier gefragt wird, mir wird
auch bei 100maligen Durchlesen nicht klar, wo fängt die Aufgabe an
(...wohl bei Beweisen Sie) aber richtig kompliziert finde ich die Fragestellung, weil ich nicht weiß, was gefrat ist!
Wer also einen Tipp hat...
Ich würde mich sehr freuen!
Ich habe bisher nur hinzuzufügen, dass [mm] [mm] g_j (x_i) [/mm] = [mm] \delta_ij [/mm] = [mm] \begin{cases} 1, & \mbox{falls } i=j \\ 0, & \mbox{falls } i \not= j \end{cases}
[/mm]
also auch das mit dem Lagrangeinterpolationspolynom.
Und darüber steht etwas in manchen Numerikbüchern, aber leider nicht in dieser Form.
Falls jemand eine gute Idee für mich hat, bin ich sehr dankbar, für jede Mitteilung!!!
Liebe Grüße Eva
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:43 Mo 16.01.2006 | | Autor: | Sienna |
Hallo Zusammen,
ich liefere einen Ansatz nach, weiß aber nicht, wie ich die Aufgabe zu Ende bringen kann.
Ansatz:
Zu zeigen ist, dass [mm] g_f [/mm] genau eine Funktion ist, die eindeutig ist.
Es muss für jedes f exakt ein Funktion [mm] g_f [/mm] existieren.
Es ist also
[mm] g(x_j) = \summe_{i=1}^{n} g(x_i) * g_i(x_j) = g(x_i)
= g_1(x_j) *g(x_1)+ g_2(x_j)*g(x_2) +...+g_n(x_j)*g(x_n)[/mm]
Zusammen mit der Eindeutigkeit ergibt sich...??? (Meine neue Frage)
Und weiter muss ich nun noch das Integral mit einbeziehen.
Okay, soweit also erstmal.
Ich hoffe jemand weiß einen Rat, wie es weiter gehen kann.
Vielen Dank im Voraus,
Liebe Grüße Sienna
Die Reaktion sollte eigentlich nicht unnötig sein 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:48 Mi 18.01.2006 | | Autor: | matux |
Hallo Sienna!
Wir bedauern, dass Deine Frage nicht in der von dir eingestellten Fälligkeitszeit beantwortet wurde.
Der wahrscheinlichste Grund dafür ist, dass ganz einfach niemand, der dir hätte helfen können, im Fälligkeitszeitraum online war. Bitte bedenke, dass jede Hilfe hier freiwillig und ehrenamtlich gegeben wird.
Wie angekündigt gehen wir nun davon aus, dass du an einer Antwort nicht mehr interessiert bist. Die Frage taucht deswegen nicht mehr in der Liste der offenen Fragen, sondern nur noch in der Liste der Fragen für Interessierte auf.
Falls du weiterhin an einer Antwort interessiert bist, stelle einfach eine weitere Frage in dieser Diskussion.
Wir wünschen dir beim nächsten Mal mehr Erfolg! ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]")
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
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