Quadratwurzel finden < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:30 Mi 03.06.2009 | | Autor: | anetteS |
| Aufgabe | Die meisten komplexen Matrizen haben viele Quadratwurzeln, zum Beispiel hat [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] die Quadratwurzel [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }, \pmat{ -1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] und [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }. [/mm]
Finde eine Matrix M [mm] \in M(2,\IC), [/mm] die keine Quadratwurzel hat. |
Ich habe keine Ahnung, wie ich an die Aufgabe herangehen soll? Gibt es so eine Art Kriterium dafür, wann es Quadratwurzel gibt?
Habe schon ein paar Seiten dazu gelesen und rumprobiert, komme aber , wie gesagt, auf keinen richtigen Ansatz.
Vielen Dank schon mal im Voraus .
Gruß, Anette.
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Hallo,
also zumindest kann man sagen, dass jede symmetrische positiv definite Matrix eine Wurzel besitzt (kannst du das beweisen?). Allerdings ist das nur hinreichend aber nicht notwendig. Diagonalisierbare Matrizen scheiden über [mm] $\IC$ [/mm] auch aus(Warum und wie kann man da die Wurzel bestimmen).
Guck dir mal das Produkt
[mm] \pmat{ a & b \\ c & d }\cdot \pmat{ a & b \\ c & d }=\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }. [/mm] Versuche jetzt mal a,b,c, d zu bestimmen. Was stellst du fest?
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 Mi 03.06.2009 | | Autor: | anetteS |
Dass jede diagonalisierbare Matrix eine Quadratwurzel hat, hat unser Prof in der Vorlesung gezeigt.
Hab jetzt mal versucht a, b, c, d zu bestimmen:
a²=-cb
d²=-cb
ba+db=1
ac+cd=1
=> a=-d
Kann man sonst noch etwas aussagen, was ich jetzt nicht sehe? (Tut mir leid, aber ich steh bei dieser Aufgabe echt aufm Schlauch)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:38 Mi 03.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Dass jede diagonalisierbare Matrix eine Quadratwurzel hat,
> hat unser Prof in der Vorlesung gezeigt.
> Hab jetzt mal versucht a, b, c, d zu bestimmen:
> a²=-cb
> d²=-cb
> ba+db=1
> ac+cd=1
Hier muß stehen:
ac+cd=0, also a+d = 0 oder c= 0. Wegen ba+db=1, kommt aber a+d = 0 nicht in Frage, somit:
c = 0
Aus a²=-cb und d²=-cb fogt dann
a= d = 0
Dann ist aber ba+db=0, Widerspruch
FRED
> => a=-d
> Kann man sonst noch etwas aussagen, was ich jetzt nicht
> sehe? (Tut mir leid, aber ich steh bei dieser Aufgabe echt
> aufm Schlauch)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:43 Mi 03.06.2009 | | Autor: | anetteS |
Danke schön für die Korrektur, ich hatte mich vertippt.
Ihr habt mir super weitergeholfen, vielen Dank.
Viele Grüße,
Anette.
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