Quadratwurzel und psd < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:14 Mi 21.06.2006 | | Autor: | mushroom |
| Aufgabe | | Testen Sie, ob [mm] $F_1:\ \mathbb R^3 \to \mathbb R^3$, [/mm] gegeben durch [mm] $F_1(x,y,z) [/mm] = (2x+y+z, x+2y+z, x+y+3z)$ positiv semidifinit ist. Falls ja, berechnen Sie eine Quadratwurzel von [mm] $F_1$, [/mm] d.h. ein positiv semidefinites [mm] $G_1 \in \mathrm{End}(\mathbb R^3)$ [/mm] mit [mm] $G_1^2 [/mm] = [mm] F_1$. [/mm] |
Hallo,
ich habe erstmal die darstellende Matrix gebildet. Sie lautet [mm] $M_{\mathcal B}(F) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 2&1&1\\1&2&1\\1&1&3 \end{pmatrix}$. [/mm] Nun wollte ich zeigen, daß diese Matrix psd ist, falls $^tvAv [mm] \ge [/mm] 0$ für alle $v$.
[mm] \begin{array}{rcl}
\pmat{v_1 & v_2 & v_3} \pmat{2&1&1\\1&2&1\\1&1&3}\pmat{v_1\\v_2\\v_3}
&= &\pmat{2v_1+v_2+v_3 & v_1+2v_2+v_3 & v_1+v_2+3v_3}\pmat{v_1\\v_2\\v_3}\\
&= &\ldots\\
&= &2(v_1^2+v_2^2+v_1v_2+v_1v_3+v_2v_3)+3v_3
\end{array}
[/mm]
Nun muß ja jeder einzelne Summand größer gleich Null sein, damit insgesamt alles größer gleich Null ist. Ist $v$ der Nullvektor, so ist auch $^tvAv =0$, aber ich bekomme es nicht hin damit zu zeigen, daß $^tvAv > 0$ ist.
Und wie kann ich an der zweiten Teil der Aufgabe ran gehen? Habe mir gedacht da irgendwas mit Polarzerlegung zu machen.
Vielen Dank für jeden Tip.
Gruß
Markus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:43 Mi 21.06.2006 | | Autor: | mushroom |
Hallo zu so spätem Abend,
habe es jetzt hinbekommen. Benötige also keine Hilfe mehr.
Gruß
Markus
Upps, sollte eigentlich eine Mitteilung werden und keine erneute Frage.
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