Quadrik/Euklidsche Normalform < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 Fr 29.08.2008 | | Autor: | marder |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die euklidische Normalform der Quadrik
Q = (x, y, z) ∈ [mm] \IR^3 [/mm] ( [mm] 3x^2 [/mm] + 2xy + [mm] 3y^2 [/mm] + [mm] 6z^2 [/mm] − 12z = 0)
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Hallo, man soll die Euklidsche Normalform der Quadrik bestimmen.
Im ersten Schritt bilde ich dann die Eigenwerte der Matrix
[mm] \vmat{ 3 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 6 } [/mm] = Matrix A
Dann ergeben sich als Eigenwerte ew1=6 ; ew2=4 ; ew3=2
Jetzt bilde ich die Eigenvektoren zu den Eigenwerten also (A-EW*En)*v=0
En= Einheitsmatrix
Jetzt meine Fragen:
1. Woher weiß ich welches Vorzeichen die Eigenvektoren haben müssen wenn ich die Transformationsmatrix T (die ja aus den Eigenvektoren besteht) haben will
2. In welcher Reihenfolge müssen die Eigenvektoren sortiert werden?
(Soweit ich mich erinnere sortiert man Ew1>Ew2>Ew3 und damit auch die Eigenvektoren, was aber leider nicht mit meiner Musterlösung übereinstimmt.
Danke für eure Hilfe
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Hallo marder,
> Bestimmen Sie die euklidische Normalform der Quadrik
> Q = (x, y, z) ∈ [mm]\IR^3[/mm] ( [mm]3x^2[/mm] + 2xy + [mm]3y^2[/mm] + [mm]6z^2[/mm]
> − 12z = 0)
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> Hallo, man soll die Euklidsche Normalform der Quadrik
> bestimmen.
> Im ersten Schritt bilde ich dann die Eigenwerte der
> Matrix
>
> [mm]\vmat{ 3 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 6 }[/mm] = Matrix A
>
> Dann ergeben sich als Eigenwerte ew1=6 ; ew2=4 ; ew3=2
>
> Jetzt bilde ich die Eigenvektoren zu den Eigenwerten also
> (A-EW*En)*v=0
> En= Einheitsmatrix
>
> Jetzt meine Fragen:
>
> 1. Woher weiß ich welches Vorzeichen die Eigenvektoren
> haben müssen wenn ich die Transformationsmatrix T (die ja
> aus den Eigenvektoren besteht) haben will
Die Eigenvektoren müssen nur aus dem entsprechenden Gleichungssystem ermittelt werden. Eigenvektoren haben meines Wissen kein Vorzeichen.
> 2. In welcher Reihenfolge müssen die Eigenvektoren
> sortiert werden?
> (Soweit ich mich erinnere sortiert man Ew1>Ew2>Ew3 und
> damit auch die Eigenvektoren, was aber leider nicht mit
> meiner Musterlösung übereinstimmt.
Die Reihenfolge in der die Eigenvektoren sortiert werden bleibt jedem selbst ueberlassen, sofern es sich nur um einfache Eigenwerte handelt.
Du kannst ja mal die Musterlösung nachrechnen, wie es da gemacht wurde.
>
>
> Danke für eure Hilfe
Gruß
MathePower
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