Quadriken < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:10 Mo 11.08.2008 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | Man bestimme, für welche c [mm] \in \IR [/mm] die folgenden Quadriken nicht entartet sind und gebe den Typ der Quadriken an. Zusätzlich bringe man die Quadrik aus Teilaufgabe (b) auf Normalform.
a) [mm] (x-2y+4)^2 [/mm] + [mm] (7-x-z)^2 [/mm] + [mm] (3-2y)^2 [/mm] - c = 0
b) [mm] 6x^2 [/mm] - [mm] y^2 [/mm] + [mm] 2*\wurzel(2)xy [/mm] + c = 0 |
Mir ist grundsätzlich klar, wie ich die Quadriken auf Normalform bringe (Orhogonale Transformation, Translation).
Doch wenn nur gefragt wird, ob die Quadrik entartet ist, muss man diese nicht umbedingt auf Normalform bringen, oder?
Wie kann man dies aber dann also sehen, ob entartet oder nicht.
zu b):
Habe mal angefangen, die Matrix [mm] \pmat{ 6 & \wurzel{2} \\ \wurzel{2} & -1 } [/mm] zu diagonalisieren. Als Eigenwerte habe ich [mm] \bruch{5 \pm \wurzel{57}}{2} [/mm] erhalten.
Wenn ich nun mit diesen Werten weiterrechne, wird das ganze ziemlich kompliziert. Kann dies stimmen? Oder gäbe es noch eine andere Methode?
|
|
| |
|
Hallo jokerose,
> Man bestimme, für welche c [mm]\in \IR[/mm] die folgenden Quadriken
> nicht entartet sind und gebe den Typ der Quadriken an.
> Zusätzlich bringe man die Quadrik aus Teilaufgabe (b) auf
> Normalform.
>
> a) [mm](x-2y+4)^2[/mm] + [mm](7-x-z)^2[/mm] + [mm](3-2y)^2[/mm] - c = 0
>
> b) [mm]6x^2[/mm] - [mm]y^2[/mm] + [mm]2*\wurzel(2)xy[/mm] + c = 0
> Mir ist grundsätzlich klar, wie ich die Quadriken auf
> Normalform bringe (Orhogonale Transformation,
> Translation).
>
> Doch wenn nur gefragt wird, ob die Quadrik entartet ist,
> muss man diese nicht umbedingt auf Normalform bringen,
> oder?
> Wie kann man dies aber dann also sehen, ob entartet oder
> nicht.
Das kann man nicht so einfach sehen.
Die allgemeine Gleichung 2. Grades in x, y und z
[mm]f\left(x,y,z\right)=a_{11}x^{2}+2a_{12}xy+a_{22}y^{2}+2a_{13}xz+2a_{23}yz+a_{33}z^{2}+2a_{14}x+2a_{24}y+2a_{34}z+a_{44}=0[/mm]
zerfällt in ein Ebenenpaar, wenn
[mm]\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{14} \\
a_{21} & a_{22} & a_{24} \\
a_{41} & a_{42} & a_{44}
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{13} & a_{14} \\
a_{31} & a_{33} & a_{34} \\
a_{41} & a_{43} & a_{44}
\end{vmatrix}+
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
a_{32} & a_{33} & a_{34} \\
a_{42} & a_{43} & a_{44}
\end{vmatrix}=0[/mm]
>
> zu b):
> Habe mal angefangen, die Matrix [mm]\pmat{ 6 & \wurzel{2} \\ \wurzel{2} & -1 }[/mm]
> zu diagonalisieren. Als Eigenwerte habe ich [mm]\bruch{5 \pm \wurzel{57}}{2}[/mm]
> erhalten.
> Wenn ich nun mit diesen Werten weiterrechne, wird das
> ganze ziemlich kompliziert. Kann dies stimmen? Oder gäbe es
> noch eine andere Methode?
Die Methode, die mir einfällt, führt dann auf ein nichtlineares Gleichungssystem:
[mm]6x^{2} - y^{2} + 2\cdot{}\wurzel{2}xy + c -\left(r_{1}*x+s_{1}*y+t_{1}\right)*\left(r_{2}*x+s_{2}*y+t_{2}\right)=0[/mm]
Ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich führt auf das schon erwähnte nichtlineare Gleichungssystem.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 Sa 23.08.2008 | | Autor: | jokerose |
zu Aufgabe a) habe ich den folgenden Tipp erhalten:
Man kann die Gleichung [mm] (x-2y+4)^2 [/mm] + [mm] (7-x-z)^2 [/mm] + [mm] (3-2y)^2 [/mm] - c = 0 umschreiben in x'^2 + y'^2 + z'^2 - c = 0
Doch mir ist nicht klar, weshalb man dies darf...?
Ausserdem habe ich noch eine allgemeine Frage zu Quadriken.
Betrachten wir z.B. [mm] -2x^2 [/mm] + [mm] y^2 -2z^2 [/mm] + 2xz + 2z -23 = 0
Um die Gleichung auf Normalform zu bringen, arbeite ich mit folgendem Rezept:
[mm] X'^t(PAP^t)X' [/mm] + [mm] (BP^t)X' [/mm] + c = 0
wobei P eine orthogonale Matrix ist, so dass [mm] PAP^t [/mm] Diagonalform hat.
A ist also [mm] \pmat{ -2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & -2 }
[/mm]
Für A' erhalte ich dann [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -3 }.
[/mm]
Nun zu meiner ersten Frage: Könnte ich genausogut auch mit A' = [mm] \pmat{ -3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 } [/mm] weiterrechene, also anders gesagt, spielt die Reihenfolge der EW keine Rolle fürs weiterrechnen, oder erhält man auf diese Weise ein falsches Resultat?
Und meine zweite Frage: Spielt es eine Rolle, ob ich mit [mm] (BP^t)X' [/mm] oder mit (BP)X' rechne? Ich definiere P jeweils mit [mm] B^{-1} [/mm] wobei B aus den normierten Eigenvektoren besteht.
|
|
|
| |
|
Hallo jokerose,
> zu Aufgabe a) habe ich den folgenden Tipp erhalten:
>
> Man kann die Gleichung [mm](x-2y+4)^2[/mm] + [mm](7-x-z)^2[/mm] + [mm](3-2y)^2[/mm] -
> c = 0 umschreiben in x'^2 + y'^2 + z'^2 - c = 0
>
> Doch mir ist nicht klar, weshalb man dies darf...?
>
Setzen wir
[mm]x'=x-2y+4[/mm]
[mm]y'=7-x-z[/mm]
[mm]z'=3-2y[/mm]
, so erhalten wir
[mm]x'^2 + y'^2 + z'^2 - c=0[/mm]
Es wurde hier also eine Koordinatentransformation durchgeführt.
>
> Ausserdem habe ich noch eine allgemeine Frage zu Quadriken.
> Betrachten wir z.B. [mm]-2x^2[/mm] + [mm]y^2 -2z^2[/mm] + 2xz + 2z -23 = 0
>
> Um die Gleichung auf Normalform zu bringen, arbeite ich mit
> folgendem Rezept:
> [mm]X'^t(PAP^t)X'[/mm] + [mm](BP^t)X'[/mm] + c = 0
>
> wobei P eine orthogonale Matrix ist, so dass [mm]PAP^t[/mm]
> Diagonalform hat.
>
> A ist also [mm]\pmat{ -2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & -2 }[/mm]
>
> Für A' erhalte ich dann [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -3 }.[/mm]
>
> Nun zu meiner ersten Frage: Könnte ich genausogut auch mit
> A' = [mm]\pmat{ -3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 }[/mm]
> weiterrechene, also anders gesagt, spielt die Reihenfolge
> der EW keine Rolle fürs weiterrechnen, oder erhält man auf
> diese Weise ein falsches Resultat?
Nein.
Du bekommst dann zwar eine andere Darstellung der transformierten Quadrik. Diese ist aber vom selben Typ.
>
> Und meine zweite Frage: Spielt es eine Rolle, ob ich mit
> [mm](BP^t)X'[/mm] oder mit (BP)X' rechne? Ich definiere P jeweils
> mit [mm]B^{-1}[/mm] wobei B aus den normierten Eigenvektoren
> besteht.
Hier mußt Du zwingend mit der gewählten Transformation arbeiten.
Das heisst:
[mm]X=P^{T}X' \Rightarrow BX=BP^{T}X'=\left(BP^{T}\right)X'[/mm]
[mm]X=PX' \Rightarrow BX=BPX'=\left(BP}\right)X'[/mm]
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Sa 23.08.2008 | | Autor: | jokerose |
Hallo,
> Setzen wir
>
> [mm]x'=x-2y+4[/mm]
> [mm]y'=7-x-z[/mm]
> [mm]z'=3-2y[/mm]
>
> , so erhalten wir
>
> [mm]x'^2 + y'^2 + z'^2 - c=0[/mm]
>
> Es wurde hier also eine Koordinatentransformation
> durchgeführt.
>
Hm, mir ist aber immer noch nicht ganz klar, weshalb man dies einfach so verändern kann...? "Sieht" man dies einfach so?
Für eine Transformation habe ich ja immer zuerst die Matrix A bestimmt und diese danach auf Diagonalform gebracht. Ist hier das Prinzip auch so?
und diese Koordinatentransformation ändert nichts an der Bestimmung für "c"? Es hat ja da noch die "4", die "7" und die "3" welche nun einfach verschwinden, muss man da also diese nicht bei der Bestimmung für "c" berücksichtigen?
>
> >
> > Ausserdem habe ich noch eine allgemeine Frage zu Quadriken.
> > Betrachten wir z.B. [mm]-2x^2[/mm] + [mm]y^2 -2z^2[/mm] + 2xz + 2z -23 = 0
> >
> > Um die Gleichung auf Normalform zu bringen, arbeite ich mit
> > folgendem Rezept:
> > [mm]X'^t(PAP^t)X'[/mm] + [mm](BP^t)X'[/mm] + c = 0
> >
> > wobei P eine orthogonale Matrix ist, so dass [mm]PAP^t[/mm]
> > Diagonalform hat.
> >
> > A ist also [mm]\pmat{ -2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & -2 }[/mm]
>
> >
> > Für A' erhalte ich dann [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -3 }.[/mm]
>
> >
> > Nun zu meiner ersten Frage: Könnte ich genausogut auch mit
> > A' = [mm]\pmat{ -3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 }[/mm]
> > weiterrechene, also anders gesagt, spielt die Reihenfolge
> > der EW keine Rolle fürs weiterrechnen, oder erhält man auf
> > diese Weise ein falsches Resultat?
>
>
> Nein.
>
> Du bekommst dann zwar eine andere Darstellung der
> transformierten Quadrik. Diese ist aber vom selben Typ.
>
Und wenn nach der Normalform (und nicht nur nach dem Typ) gefragt ist, spielt die Reihenfolge der EW bei A auch keine Rolle?
|
|
|
| |
|
Hallo jokerose,
> Hallo,
>
>
> > Setzen wir
> >
> > [mm]x'=x-2y+4[/mm]
> > [mm]y'=7-x-z[/mm]
> > [mm]z'=3-2y[/mm]
> >
> > , so erhalten wir
> >
> > [mm]x'^2 + y'^2 + z'^2 - c=0[/mm]
> >
> > Es wurde hier also eine Koordinatentransformation
> > durchgeführt.
> >
>
> Hm, mir ist aber immer noch nicht ganz klar, weshalb man
> dies einfach so verändern kann...? "Sieht" man dies einfach
> so?
[mm]\underbrace{\left(x-2y+4\right)^{2}}_{x'^{2}}+\underbrace{\left(7-x-z\right)^{2}}_{y'^{2}}+\underbrace{\left(3-2y\right)^{2}}_{z'^{2}}-c=0[/mm]
Das ist hier unmittelbar ersichtlich.
> Für eine Transformation habe ich ja immer zuerst die
> Matrix A bestimmt und diese danach auf Diagonalform
> gebracht. Ist hier das Prinzip auch so?
Ja.
>
> und diese Koordinatentransformation ändert nichts an der
> Bestimmung für "c"? Es hat ja da noch die "4", die "7" und
> die "3" welche nun einfach verschwinden, muss man da also
> diese nicht bei der Bestimmung für "c" berücksichtigen?
>
Nein.
Die Gesamttransformation
[mm]x'=x-2y+4[/mm]
[mm]y'=7-x-z[/mm]
[mm]z'=3-2y[/mm]
geht ja aus zwei Einzeltransformationen hervor:
[mm]x''=x-2y[/mm]
[mm]y''=-x-z[/mm]
[mm]z''=-2y[/mm]
[mm]\gdw \pmat{x'' \\ y'' \\ z''}=\pmat{1 & -2 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \\ 0 & -2 & 0}\pmat{x \\ y \\ z}[/mm]
Dann ist
[mm]x'=x-2y+4=x''+4[/mm]
[mm]y'=7-x-z=y''+7[/mm]
[mm]z'=3-2y=z''+3[/mm]
[mm]\gdw \pmat{x' \\ y' \\ z'}=\pmat{x'' \\ y'' \\ z''}+\pmat{4 \\ 7 \\ 3} = \pmat{1 & -2 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \\ 0 & -2 & 0}\pmat{x \\ y \\ z}+\pmat{4 \\ 7 \\ 3}[/mm]
Der Vektor [mm]\pmat{4 \\ 7 \\ 3}[/mm] ist der Translationsvektor,
>
> >
> > >
> > > Ausserdem habe ich noch eine allgemeine Frage zu Quadriken.
> > > Betrachten wir z.B. [mm]-2x^2[/mm] + [mm]y^2 -2z^2[/mm] + 2xz + 2z -23 = 0
> > >
> > > Um die Gleichung auf Normalform zu bringen, arbeite ich mit
> > > folgendem Rezept:
> > > [mm]X'^t(PAP^t)X'[/mm] + [mm](BP^t)X'[/mm] + c = 0
> > >
> > > wobei P eine orthogonale Matrix ist, so dass [mm]PAP^t[/mm]
> > > Diagonalform hat.
> > >
> > > A ist also [mm]\pmat{ -2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & -2 }[/mm]
>
> >
> > >
> > > Für A' erhalte ich dann [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -3 }.[/mm]
>
> >
> > >
> > > Nun zu meiner ersten Frage: Könnte ich genausogut auch mit
> > > A' = [mm]\pmat{ -3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 }[/mm]
> > > weiterrechene, also anders gesagt, spielt die Reihenfolge
> > > der EW keine Rolle fürs weiterrechnen, oder erhält man auf
> > > diese Weise ein falsches Resultat?
> >
> >
> > Nein.
> >
> > Du bekommst dann zwar eine andere Darstellung der
> > transformierten Quadrik. Diese ist aber vom selben Typ.
> >
>
> Und wenn nach der Normalform (und nicht nur nach dem Typ)
> gefragt ist, spielt die Reihenfolge der EW bei A auch keine
> Rolle?
>
>
So isses.
Die Bestimmung der Normalform geht einher mit der Bestimmung des Typs.
Siehe hierzu: ![[]](/images/popup.gif) Normalformen von Quadriken
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Sa 23.08.2008 | | Autor: | jokerose |
Gut, ich denke mittlerweilen hätte ich dies nun auch mehr oder weniger begriffen.
Doch zwei kurze Fragen habe ich noch:
> Die Gesamttransformation
>
> [mm]x'=x-2y+4[/mm]
> [mm]y'=7-x-z[/mm]
> [mm]z'=3-2y[/mm]
>
> geht ja aus zwei Einzeltransformationen hervor:
>
> [mm]x''=x-2y[/mm]
> [mm]y''=-x-z[/mm]
> [mm]z''=-2y[/mm]
>
> [mm]\gdw \pmat{x'' \\ y'' \\ z''}=\pmat{1 & -2 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \\ 0 & -2 & 0}\pmat{x \\ y \\ z}[/mm]
>
> Dann ist
>
> [mm]x'=x-2y+4=x''+4[/mm]
> [mm]y'=7-x-z=y''+7[/mm]
> [mm]z'=3-2y=z''+3[/mm]
>
> [mm]\gdw \pmat{x' \\ y' \\ z'}=\pmat{x'' \\ y'' \\ z''}+\pmat{4 \\ 7 \\ 3} = \pmat{1 & -2 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \\ 0 & -2 & 0}\pmat{x \\ y \\ z}+\pmat{4 \\ 7 \\ 3}[/mm]
>
> Der Vektor [mm]\pmat{4 \\ 7 \\ 3}[/mm] ist der Translationsvektor,
>
Diese Transformation ist dann aber nicht orthogonal, oder?
(Da aber nur nach dem Typ der Quadrik gefragt ist, spielt dies ja aber keine Rolle!)
> >
> > >
> > > >
> > > > Ausserdem habe ich noch eine allgemeine Frage zu Quadriken.
> > > > Betrachten wir z.B. [mm]-2x^2[/mm] + [mm]y^2 -2z^2[/mm] + 2xz + 2z -23 = 0
> > > >
> > > > Um die Gleichung auf Normalform zu bringen, arbeite ich mit
> > > > folgendem Rezept:
> > > > [mm]X'^t(PAP^t)X'[/mm] + [mm](BP^t)X'[/mm] + c = 0
> > > >
> > > > wobei P eine orthogonale Matrix ist, so dass [mm]PAP^t[/mm]
> > > > Diagonalform hat.
> > > >
> > > > A ist also [mm]\pmat{ -2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & -2 }[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Für A' erhalte ich dann [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -3 }.[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Nun zu meiner ersten Frage: Könnte ich genausogut auch mit
> > > > A' = [mm]\pmat{ -3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 }[/mm]
> > > > weiterrechene, also anders gesagt, spielt die Reihenfolge
> > > > der EW keine Rolle fürs weiterrechnen, oder erhält man auf
> > > > diese Weise ein falsches Resultat?
> > >
> > >
> > > Nein.
> > >
> > > Du bekommst dann zwar eine andere Darstellung der
> > > transformierten Quadrik. Diese ist aber vom selben Typ.
> > >
> >
> > Und wenn nach der Normalform (und nicht nur nach dem Typ)
> > gefragt ist, spielt die Reihenfolge der EW bei A auch keine
> > Rolle?
> >
> >
>
>
> So isses.
>
> Die Bestimmung der Normalform geht einher mit der
> Bestimmung des Typs.
>
Da wäre ich anderer Meinung. Wir haben in der Vorlesung gelernt, dass wenn nach der Normalform gefragt wird, nur orthogonale Transformationen erlaubt sind. Wenn aber nur nach dem Typ der Quadrik gefragt wird, spielt es keine Rolle, ob die Transformationen orthogonal sind oder nicht....!
|
|
|
| |
|
> zwei kurze Fragen habe ich noch:
> > [mm]\ \pmat{x' \\ y' \\ z'}=\pmat{x'' \\ y'' \\ z''}+\pmat{4 \\ 7 \\ 3} = \pmat{1 & -2 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \\ 0 & -2 & 0}\pmat{x \\ y \\ z}+\pmat{4 \\ 7 \\ 3}[/mm]
> Diese Transformation ist dann aber nicht orthogonal, oder?
> (Da aber nur nach dem Typ der Quadrik gefragt ist, spielt
> dies ja aber keine Rolle!)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Klar, ist sie nicht.
wichtig ist natürlich, dass sie linear und nicht singulär ist.
Die entstandene Gleichung
$ x'^2 + y'^2 + z'^2 - c=0 $
ist eine Kugelgleichung (für c>0), für c=0 beschreibt sie
einen einzelnen Punkt und für c<0 hat sie keine reellen
Lösungen.
Die ursprüngliche Gleichung stellt also für c>0 eine
Quadrik vom Typ der Kugel, also ein Ellipsoid dar.
> > Die Bestimmung der Normalform geht einher mit der
> > Bestimmung des Typs.
> Da wäre ich anderer Meinung. Wir haben in der Vorlesung
> gelernt, dass wenn nach der Normalform gefragt wird, nur
> orthogonale Transformationen erlaubt sind. Wenn aber nur
> nach dem Typ der Quadrik gefragt wird, spielt es keine
> Rolle, ob die Transformationen orthogonal sind oder
> nicht....!
Man könnte den obigen Satz von MathePower aber auch so
interpretieren: Bestimmt man die Normalform, dann zeigt
sich dabei auch, welcher Typ von Quadrik vorliegt. So formu-
liert ist die Aussage natürlich richtig.
LG al-Chw.
|
|
|
|
