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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:13 Mi 09.03.2005 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
ich hab ein großes Problem bei dieser Aufgabe, weil ich mit der nichts anfangen kann. Wie geht man denn am besten bei so einer Aufgabe vor?
Aufgabe:
Sei Q die Quadrik { (x,y,z) [mm] \in \IR^{3} [/mm] | [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] + 2 [mm] z^{2} [/mm] + 2xy + 4yz=0}. Bestimme einen Isomorphismus g: [mm] \IR^{3} \to \IR^{3} [/mm] und a,b,c [mm] \in \IR [/mm] derart, dass gilt: [mm] g^{-1}[Q] [/mm] ={ (x,y,z) [mm] \in \IR^{3} [/mm] | a [mm] x^{2} [/mm] + [mm] by^{2} [/mm] + [mm] cz^{2} [/mm] = 0 }.
Ein Isormorphismus ist doch eine lineare Abbildung, die bijektiv ist. Ich weiß aber nicht, wie ich die isomorphe Abbildung finden kann, so dass die Bedingungen gelten.
Danke für die Hilfe.
Moe007
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Hallo,
probiere das ganze als Summe/Differenz von Quadraten zu schreiben,
in dem Du jeweils die gemischten Glieder zur Bildung heranziehst.
[mm]
\begin{gathered}
x^{2} \; + \;y^{2} \; + \;2z^{2} \; + \;2xy\; + \;4yz\; = \hfill \\
\left( {y\; + \;x\; + \;2z} \right)^{2} \; - \;2z^{2} \; - \;4xz\; = \hfill \\
\left( {y\; + \;x\; + \;2z} \right)^{2} \; - \;2\;\left( {z^{2} \; + \;2xz} \right)\; = \hfill \\
\left( {y\; + \;x\; + \;2z} \right)^{2} \; - \;2\;\left( {\left( {z\; + \;x} \right)^{2} \; - \;x^{2} } \right)\; = \hfill \\
\left( {y\; + \;x\; + \;2z} \right)^{2} \; - \;2\;\left( {z\; + \;x} \right)^{2} \; + \;2x^{2} \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Das ist nur eine Möglichkeit. Eine andere Möglichkeit geht über die Bestimmung der Eigenwerte der zugehörigen Matrix.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 Fr 11.03.2005 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
danke für deine Hilfe. Leider versteh ich immer noch nicht deine Lösung. Was bringt es mir, wenn ich das ganze als Summe/Differenz von Quadraten schreibe? Ich brauch doch einen Isormorphismus. Muss ich da nicht linearität und Bijektivität nachweisen?
Tut mir leid, dass ich mich so dumm anstelle, aber die Lineare Algebra ist leider nicht mein Steckenpferd 
Danke, Moe 007
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:29 Fr 11.03.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Es gilt ja offenbar:
$Q= [mm] \left\{ \pmat{x \\y \\ z} \in \IR^3\, : \, \pmat{x \\y \\ z}^T \cdot M \cdot \pmat{x \\ y \\z} = 0 \right\}$
[/mm]
mit
$M= [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 &2}$.
[/mm]
Nehmen wir an, es gelänge uns eine invertierbare Matrix $C$ zu finden mit
$C^TMC = [mm] \pmat{a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c}$.
[/mm]
(Das bedeutet wir könnten $M$ orthogonal diagonalisieren.)
Dann wäre
$g : [mm] \begin{array}{ccc} \IR^3 & \to & \IR^3\\[5pt] \pmat{x \\ y \\ z} & \mapsto & C \cdot \pmat{x \\ y \\ z} \end{array}$
[/mm]
der gesuchte Isomorphismus, denn wir hätten dann:
[mm] $g^{-1}(Q)$
[/mm]
$= [mm] \left\{ \pmat{x \\ y \\ z} \in \IR^3\, : \, g \pmat{x \\ y \\ z} \in Q\right\}$
[/mm]
$= [mm] \left\{ \pmat{x \\ y \\ z} \in \IR^3\, : \, \left( C \cdot\pmat{x \\y \\ z} \right)^T \cdot M \cdot \left( C \cdot \pmat{x \\ y \\z} \right)= 0\right\}$
[/mm]
$= [mm] \left\{ \pmat{x \\ y \\ z} \in \IR^3\, : \pmat{x \\y \\ z}^T \cdot C^T M C \cdot \pmat{x \\ y \\z}= 0\right\}$
[/mm]
$= [mm] \left\{ \pmat{x \\ y \\ z} \in \IR^3\, : \pmat{x \\y \\ z}^T \cdot \pmat{a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c}\cdot \pmat{x \\ y \\z} = 0\right\}$
[/mm]
$= [mm] \left\{ \pmat{x \\ y \\ z} \in \IR^3\, : ax^2 + by^2 + cz^2= 0\right\}$.
[/mm]
Du musst jetzt also nur noch $M$ diagonalisieren.
Liebe Grüße
Stefan
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