Quantile Normalverteilung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:09 Fr 29.11.2013 | | Autor: | selinaCC |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass das (1- [mm] \alpha)-Quantil [/mm] einer beliebigen Normalverteilten ZV X die Darstellung
E[X] + [mm] N_{1- \alpha} \sigma[X]
[/mm]
besitzt., wobei [mm] N_{1-\alpha} [/mm] das (1- [mm] \alpha)- [/mm] Quantil der Standardnormalverteilung ist. |
Lösung:
DIe ZV Z = [mm] \frac{X - E[X]}{\sigma[X]} [/mm] ist standardnormalverteilt.
Damit gilt
[mm] \alpha [/mm] = P(Z > [mm] N_{1-\alpha}) [/mm] = P(X > E[X] + [mm] N_{1-\alpha}\sigma[X])
[/mm]
und somit auch
[mm] Q_{1-\alpha}(X) [/mm] = [mm] E[X]+N_{1-\alpha}+ N_{1-\alpha}\sigma[X].
[/mm]
Hallo,
ich muss meine Kenntnisse zu Zufallsvariablen, Quantilen etc auffrischen, da kaum noch Wissen vorhanden ist.
Da wir ja von einer beliebig normalverteilten ZV X ausgehen, müssen wir, um X auf Standardnormalverteilung zu bringen, eine Standardisierung durchführen: Z = [mm] \frac{X - E[X]}{\sigma[X]}. [/mm] Hab ich das richtig verstanden?
So und ab da hakt es dann leider....
Wie komme ich dann auf die nächsten Schritte?
Ich verstehe auch noch dass ich von P(Z > [mm] N_{1-\alpha}) [/mm] auf P(X > E[X] + [mm] N_{1-\alpha}\sigma[X]) [/mm] komme, indem ich Z einsetze und nach X auflöse. Aber warum dieser Ansatz, verstehe ich nicht....
Wäre super, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen würde!
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:50 Fr 29.11.2013 | | Autor: | luis52 |
Das [mm] $(1-\alpha)$-Quantil $x_\alpha$ [/mm] der Verteilung von $X$ zeichnet sich
dadurch aus, dass gilt [mm] $\alpha=P(X>x_\alpha)$. [/mm] Nun ist $ [mm] \frac{X - E[X]}{\sigma[X]} [/mm] $ standardnormalverteilt, so dass
[mm] $\alpha=P\left(\frac{X - E[X]}{\sigma[X]}>z_\alpha\right)=P(X> \underbrace{E[X]+N_{1-\alpha}+ N_{1-\alpha}\sigma[X]}_{x_\alpha})$.
[/mm]
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