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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:31 Do 19.04.2012 | | Autor: | kiwibox |
Hallo,
ich habe gerade irgendwie ein Brett vorm Kopf. Ich glaube nicht, dass die Aufgabe allzu schwer ist, allerdings stecke ich da fest.
Sei X [mm] \subset \IR [/mm] und M [mm] \not= \emptyset, [/mm] M [mm] \subset [/mm] X. Zeigen Sie das F: M [mm] \to \IR [/mm] quasikonvex [mm] \gdw [/mm] f(yx+(1-t)y) [mm] \le [/mm] max {f(x),f(y)} für alle t [mm] \in [/mm] [0,1]
Ich komme weder bei der Hin- noch Rückrichtung auf ein für mich befriedigendes Ergebnis:
Meine bisherigen Überlegungen: (da der Beweis überhaupt funktioniert, nehme ich stillschweigend an, dass M konvex ist)
Wir haben in der Vorlesung definiert, f quasikonvex [mm] \gdw M_{\alpha}={x \in M: f(x) \le \alpha} [/mm] konvex
Meine Menge ist konvex, wenn gilt: yx+(1-t)y) [mm] \in [/mm] M für t [mm] \in [/mm] [0,1], x,y [mm] \in [/mm] M
Also kann ich hier schon mal sagen: für x,y [mm] \in M_{\alpha} [/mm] gilt yx+(1-t)y) [mm] \in M_{\alpha}
[/mm]
So hier tritt aber mein Problem auf, ich muss ja zeigen: f(yx+(1-t)y) [mm] \le [/mm] max {f(x),f(y)}. Aber wie zeige ich das? Ich kann ja nicht einfach mein f auseinander ziehen (sonst wäre das ja klar), es ist ja nicht linear. Welchen Tipp könntet ihr mir hier für geben?
Bei der Rückrichtung stehe ich komplett auf den Schlauch. Wie kann ich denn aus f(yx+(1-t)y) [mm] \le [/mm] max {f(x),f(y)} folgern, dass mein [mm] M_{\alpha} [/mm] konvex ist?
Ich bin für wirklich jeden Tipp dankbar, ich bin schon seit Stunden an dieser Aufgabe am verzweifeln....
Liebe Grüße, Kiwibox
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:36 Fr 20.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> ich habe gerade irgendwie ein Brett vorm Kopf. Ich glaube
> nicht, dass die Aufgabe allzu schwer ist, allerdings stecke
> ich da fest.
>
> Sei X [mm]\subset \IR[/mm] und M [mm]\not= \emptyset,[/mm] M [mm]\subset[/mm] X.
> Zeigen Sie das F: M [mm]\to \IR[/mm] quasikonvex [mm]\gdw[/mm] f(yx+(1-t)y)
> [mm]\le[/mm] max {f(x),f(y)} für alle t [mm]\in[/mm] [0,1]
Das soll wohl lauten:
f(tx+(1-t)y) [mm]\le[/mm] max {f(x),f(y)} für alle t [mm]\in[/mm] [0,1]
>
> Ich komme weder bei der Hin- noch Rückrichtung auf ein
> für mich befriedigendes Ergebnis:
>
> Meine bisherigen Überlegungen: (da der Beweis überhaupt
> funktioniert, nehme ich stillschweigend an, dass M konvex
> ist)
> Wir haben in der Vorlesung definiert, f quasikonvex [mm]\gdw M_{\alpha}={x \in M: f(x) \le \alpha}[/mm]
> konvex
> Meine Menge ist konvex, wenn gilt: yx+(1-t)y) [mm]\in[/mm] M für t
> [mm]\in[/mm] [0,1], x,y [mm]\in[/mm] M
>
> Also kann ich hier schon mal sagen: für x,y [mm]\in M_{\alpha}[/mm]
> gilt yx+(1-t)y) [mm]\in M_{\alpha}[/mm]
> So hier tritt aber mein
> Problem auf, ich muss ja zeigen: f(yx+(1-t)y) [mm]\le[/mm] max
> {f(x),f(y)}. Aber wie zeige ich das? Ich kann ja nicht
> einfach mein f auseinander ziehen (sonst wäre das ja
> klar), es ist ja nicht linear. Welchen Tipp könntet ihr
> mir hier für geben?
>
> Bei der Rückrichtung stehe ich komplett auf den Schlauch.
> Wie kann ich denn aus f(yx+(1-t)y) [mm]\le[/mm] max {f(x),f(y)}
> folgern, dass mein [mm]M_{\alpha}[/mm] konvex ist?
>
> Ich bin für wirklich jeden Tipp dankbar, ich bin schon
> seit Stunden an dieser Aufgabe am verzweifeln....
>
> Liebe Grüße, Kiwibox
1. Sei f quasikonvex. Nimm x,y [mm] \in [/mm] M her. Es sei o.B.d.A. f(x) [mm] \le [/mm] f(y).
Setze [mm] \alpha:=f(y). [/mm] Dann sind x,y [mm] \in M_{\alpha}
[/mm]
Jetzt nutze die Konvexität von [mm] M_{\alpha}, [/mm] um
f(tx+(1-t)y) [mm]\le[/mm] max {f(x),f(y)} für alle t [mm]\in[/mm] [0,1]
zu bekommen.
2. Es gelte
(*) f(tx+(1-t)y) [mm]\le[/mm] max {f(x),f(y)} für alle t [mm]\in[/mm] [0,1] und alle x,y [mm] \in [/mm] M.
Sei [mm] \alpha [/mm] vorgegeben. Zu zeigen: [mm] M_{\alpha} [/mm] ist konvex. Dazu nimm x,y [mm] \in M_{\alpha} [/mm] her. Dann sind f(x),f(y) [mm] \le \alpha. [/mm] Zeige nun mit (*), dass auch
tx+(1-t)y [mm] \in M_{\alpha}
[/mm]
ist , für t [mm] \in [/mm] [0,1]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:32 Sa 21.04.2012 | | Autor: | kiwibox |
danke... ich hab einfach zu doof gedacht.
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