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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:13 So 23.11.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Di Quaternionengruppe [mm] Q_8:= [/mm] sei die von den Matrizen
[mm] A=\pmat{ 0& 1\\ -1 & 0} [/mm] und B= [mm] \pmat{ 0 & i \\ i & 0}
[/mm]
erzeugte Untergruppe von [mm] SL_2 (\IC)
[/mm]
In einen vorigen Bsp hab ich gezeigt [mm] Q_8 [/mm] = [mm] \{A^i B^j | i \in \{0,1,2,3\}, j \in \{0,1\}\}
[/mm]
Nun wollte ich mir alle Untergruppen von [mm] Q_8 [/mm] ansehen! (Dass sie alles Normalteiler sind, hatten wir in einen anderen Bsp) |
Hallo zusammen,
Nach dem Satz von Langrange hat [mm] Q_8 [/mm] nur Untergruppen der Ordnung 1,2,4,8. Die trivialen Untergruppen sind [mm] \{I_2\}, Q_8.
[/mm]
-) Untergruppen der Ordnung 2
Ist H [mm] \le [/mm] G mit |H|=2 so [mm] \exists [/mm] a [mm] \in [/mm] H [mm] \setminus\{e\}, [/mm] Nach Langrange ist ord(a) Teiler von 2. [mm] \Rightarrow [/mm] ord(a) [mm] \in \{1,2\}. [/mm] Da a [mm] \not=e [/mm] gilt ord(a)=2
[mm] Q_8 =\{I,A,A^2,A^3,B,3,AB,BA\}
[/mm]
Rechnungen zeigen, dass nur [mm] ord(A^2)=2 [/mm] ist, also folgt:
[mm] H=\{I_2, A^2\}=\{I_2, -I_2\} [/mm]
-)Untergruppen der Ordnung 4
H [mm] \le [/mm] G mit |H|=4
Da es nur ein Element der Ordnung 2 in [mm] Q_8 [/mm] gibt, hat H Elemente der Ordnung 4. Diese spannen aber schon die ganze Gruppe H auf, da |H|=4.
=> Untergruppen sind <A>,<B>,<AB>
Ist das okay? Kommt mir zu einfach vor.
LG,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:20 Di 25.11.2014 | | Autor: | hippias |
> Di Quaternionengruppe [mm]Q_8:=[/mm] sei die von den Matrizen
> [mm]A=\pmat{ 0& 1\\ -1 & 0}[/mm] und B= [mm]\pmat{ 0 & i \\ i & 0}[/mm]
>
> erzeugte Untergruppe von [mm]SL_2 (\IC)[/mm]
> In einen vorigen Bsp
> hab ich gezeigt [mm]Q_8[/mm] = [mm]\{A^i B^j | i \in \{0,1,2,3\}, j \in \{0,1\}\}[/mm]
>
> Nun wollte ich mir alle Untergruppen von [mm]Q_8[/mm] ansehen! (Dass
> sie alles Normalteiler sind, hatten wir in einen anderen
> Bsp)
> Hallo zusammen,
>
> Nach dem Satz von Langrange hat [mm]Q_8[/mm] nur Untergruppen der
> Ordnung 1,2,4,8. Die trivialen Untergruppen sind [mm]\{I_2\}, Q_8.[/mm]
Richtig.
>
> -) Untergruppen der Ordnung 2
> Ist H [mm]\le[/mm] G mit |H|=2 so [mm]\exists[/mm] a [mm]\in[/mm] H [mm]\setminus\{e\},[/mm]
> Nach Langrange ist ord(a) Teiler von 2. [mm]\Rightarrow[/mm] ord(a)
> [mm]\in \{1,2\}.[/mm] Da a [mm]\not=e[/mm] gilt ord(a)=2
> [mm]Q_8 =\{I,A,A^2,A^3,B,3,AB,BA\}[/mm]
> Rechnungen zeigen, dass
> nur [mm]ord(A^2)=2[/mm] ist, also folgt:
> [mm]H=\{I_2, A^2\}=\{I_2, -I_2\}[/mm]
Richtig, diese Gruppe besitzt genau eine Involution.
>
> -)Untergruppen der Ordnung 4
> H [mm]\le[/mm] G mit |H|=4
> Da es nur ein Element der Ordnung 2 in [mm]Q_8[/mm] gibt, hat H
> Elemente der Ordnung 4. Diese spannen aber schon die ganze
> Gruppe H auf, da |H|=4.
> => Untergruppen sind <A>,<B>,<AB>
Richtig, die Untegruppen vom Index $2$ sind zyklisch. Nach Inspektion der oben aufgezaehlten Elemente der Gruppe, ergeben sich Deine $3$ Moeglichkeiten.
>
> Ist das okay? Kommt mir zu einfach vor.
Ich bin zufrieden. Es ist nicht so schwierig, weil $Q$ ja nur $8$ Elemente hat.
> LG,
> sissi
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