Quaternionengruppe < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:28 So 19.11.2006 | | Autor: | Freak84 |
| Aufgabe | | Finde alle Normalteiler der Quaternionengruppe (H) +/-{1,i,j,k} |
Hi Leute
Hier muss ja gelten xN = Nx wober x [mm] \in [/mm] H und N eine untergruppe ist.
H = a+bi+cj+dk so ist eine Quaternion ja aufgebaut.
Also sind auf jedenfall die Untergruppe {1} auf jedenfall schomal ein Normalteriler von H.
So nun habe ich als Tipp noch bekommen, dass das Zentrm von H auch ein Normalteiler von H ist. Ich weis auch schon, dass das Zentrum soweit ich weiß i+j+k ist mit [mm] i^{2} [/mm] + [mm] j^{2} [/mm] + [mm] k^{2} [/mm] =1. Aber ich bekomme es nicht mehr raus wie ich darauf komme.
Wärefroh über Hilfe
Danke
Michael
|
|
| |
|
Hallo Michael,
> Finde alle Normalteiler der Quaternionengruppe (H)
> +/-{1,i,j,k}
> Hi Leute
>
> Hier muss ja gelten xN = Nx wober x [mm]\in[/mm] H und N eine
> untergruppe ist.
> H = a+bi+cj+dk so ist eine Quaternion ja aufgebaut.
Stop! Es geht nicht um den Quaternionenschiefkörper  .
> Also sind auf jedenfall die Untergruppe {1} auf jedenfall
> schomal ein Normalteriler von H.
Und natürlich $H$ selbst klar.
> So nun habe ich als Tipp noch bekommen, dass das Zentrm
> von H auch ein Normalteiler von H ist. Ich weis auch schon,
> dass das Zentrum soweit ich weiß i+j+k ist mit [mm]i^{2}[/mm] +
> [mm]j^{2}[/mm] + [mm]k^{2}[/mm] =1. Aber ich bekomme es nicht mehr raus wie
> ich darauf komme.
Nöö, stimmt so nicht; s.o. Das Zentrum (in $H$) ist der Durchschnitt aller sog. Zentralisatoren der Elemente in $H$: Ist $h [mm] \in [/mm] H$, dann besteht der Zentralisator von $h$ aus allen mit $H$ vertauschbaren Elementen in $H$. Aber was hilft das? Da $H$ nur aus 8 Elementen besteht, würd ich lieber schauen: Welche Untergruppen der Ordnungen 2 bzw. 4 sind Normalteiler?
Hth
zahlenspieler
|
|
|
|
