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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:42 Do 27.10.2011 | | Autor: | Levit |
| Aufgabe | Gegeben sind die Felder [mm] \vec F_1 (\vec r)=C \cdot \vec {n_r} \cdot r^{-k} [/mm] und [mm] \vec F_2 (\vec r)=C\cdot \vec{e_z} \times \bruch {\vec {n_r}}{r^m} [/mm] mit [mm] C=const., k\ne 2, m\ne 1 [/mm], dem Einheitsvektor [mm] \vec {n_r} [/mm] in Richtung [mm] \vec r [/mm].
a) Berechnen Sie die Quellstärke [mm] \int \vec{F_i}\,d\vec f [/mm] durch die Oberfläche einer Kugel mit dem Radius R und dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung.
Hinweis: Nutzen sie Kugelkoordinaten
b) Berechnen Sie die Wirbelstärke [mm] \int \vec{F_i}\,d\vec r [/mm] auf den Umfang eines Kreises in der x-y-Ebene, dem Radius R und dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung.
Hinweis: Nutzen sie Zylinderkoordinaten |
Wie ist denn der Ansatz zur Berechnung dieser Integrale? Dabei sind es übrigens geschlossene Integrale, wusste nur nicht wie ich die hier darstellen kann.
Bei Teilaufgabe b würde ich das Integral der Rotation von F nach dA berechnen.
Aber was in Teilaufgabe a?
Vielleicht kann mir jemand behilflich sein. Ich möchte auch gar keine Lösungen haben, nur halt ein paar Tipps, wie ich loslegen kann.
Vielen Dank schon mal =)
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Hallo!
Ganz allgemein:
Wenn du eine Funktion f hast, so lautet das Integral über ein Volumen...
... in karthesischen Koordinaten:
[mm] $\int_{x=x_1}^{x=x_2}\int_{y=y_1}^{y=y_2}\int_{z=z_1}^{z=z_2} f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz$
[/mm]
... in Zylinderkoordinaten:
[mm] $\int_{r=r_1}^{r=r_2}\int_{\phi=\phi_1}^{\phi=\phi_2}\int_{z=z_1}^{z=z_2} f(r,\phi,z)\red{*r}\,dr\,d\phi\,dz$
[/mm]
Der Winkel [mm] \phi [/mm] wird dabei normalerweise von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] integriert.
... in Kugelkoordinaten: Koordinaten:
[mm] $\int_{r=r_1}^{r=r_2}\int_{\phi=\phi_1}^{\phi=\phi_2}\int_{\theta=\theta}^{\theta=\theta_2} f(r,\phi,\theta)\red{*r^2*\sin(\theta)}\,dr\,d\phi\,d\theta$
[/mm]
Über [mm] \phi [/mm] wird wie oben integriert, über [mm] \theta [/mm] von [mm] -\frac{\pi}{2} [/mm] bis [mm] +\frac{\pi}{2} [/mm] , wenn es um eine vollständige Kugel geht.
Du möchtest nur über eine Kugeloberfläche integrieren, deshalb integrierst du NICHT über r, sondern läßt es einfach konstant: r=R
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 Do 27.10.2011 | | Autor: | Levit |
Ich hatte jetzt überlegt, ob ich nicht mit den Sätzen von Stokes und Gauß weiterkomme. Dann könnte ich einfach die Divergenz des Feldes über dem Volumen berechnen. Dann habe ich nachher ein Integral der Summe der jeweiligen Ableitungen des Feldes über dem Volumen. Und dann jeweils das Integral einmal nach x, y, z, bzw den entsprechenden Kugel/Zylinderkoordinaten.
Nur was sind dann meine Grenzen? Denn dann integriere ich ja doch über r.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:21 Fr 28.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
berechne doch mal die skalarprodukte, die da vorkommen Fdf und Fdr
dann siehst du dass es am einfachsten ist das was da steht auszurechnen!
Gruss leduart
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