Quotienten- /Wurzelkriterium < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:03 So 02.01.2005 | | Autor: | Matrix |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich beschäftige mich seit einigen Stunden mit der Aufgabe:
Zeigen Sie: Erfüllt eine Folge [mm] (a_n) [/mm] die Voraussetzungen des Quotientenkriteriums, so erfüllt sie auch die Voraussetzungen des Wurzelkriteriums.
Ansatz:
Da die Folge nach dem Quotientenkriterium konvergiert, gilt:
[mm]
\limes_{n \to \infty} \frac{ \mid a_{n+1} \mid}{ \mid a_n \mid} =: q
[/mm]
Der Grenzwert existiert und q ist kleiner 1.
Es ist zu zeigen, das unter dieser Voraussetzung gilt:
[mm]
\limes_{n \to \infty} sup{\sqrt[n]{\mid a_n \mid}} =: L
[/mm]
L existiert und ist kleiner 1.
Ich habe dazu etwas das Internet durchforstet und gefunden, dass offenbar gezeigt werden kann, dass gilt:
[mm]
\limes_{n \to \infty} sup{\sqrt[n]{\mid a_n \mid}} \le \limes_{n \to \infty} sup{\frac{ \mid a_{n+1} \mid}{ \mid a_n \mid}}
[/mm]
In diesem Ausdruck wird der Limes durch den Limes-superior ersetzt. Im Königsberger (s.66 Mitte) steht allerdings unter den Bemerkungen, dass ein Quotientenkriterium welches den Limes-superior anstelle des Limes verwendet nicht gilt.
Meine Überlegung ist, dass aus der Existenz des Grenzwertes q folgt , dass die Folge
[mm]
(b_n) := \left( \frac{ \mid a_{n+1} \mid}{ \mid a_n \mid}\right)
[/mm]
konvergiert und damit gilt:
[mm]
\limes_{n \to \infty}b_n = \limes_{n \to \infty}sup {b_n}
[/mm]
Wenn diese Überlegung stimmt, könnte der Limes einfach durch den Limes-superior ersetzt werden und aus q<1 würde die Konvergenz nach dem Wurzelkriterium folgen. Dann verstehe ich jedoch die Bemerkung im Königsberger nicht mehr. Des weitern ist mir der Beweis, den ich für die oben angegebene Ungleichung gefunden habe nicht ganz klar.
Er lautet so:
Da die Folge [mm] (b_n) [/mm] beschränkt ist existiert der Limes-superior ( genannt s) und es gilt:
[mm]
\frac{ \mid a_{k} \mid}{ \mid a_{k-1} \mid} \cdot \ \frac{ \mid a_{k-1} \mid}{ \mid a_{k-2} \mid}\cdot \ \dots \cdot \ \frac{ \mid a_2 \mid}{ \mid a_1 \mid} \cdot\ \frac{ \mid a_1 \mid}{ \mid a_0\mid} = \frac{ \mid a_k \mid}{ \mid a_0 \mid}\le s^k
[/mm]
Hieraus lässt sich durch ziehen der k-ten Wurzel anschließender Multiplikation der Ungleichung mit
[mm]
\sqrt[k]{\mid a_0 \mid}
[/mm]
und Limes Bildung für n geht gegen Unendlich sehr leicht die Ungleichung zeigen.
Dieser Beweis sieht dem Beweis des Quotientenkriteriums sehr ähnlich, allerings ist mir die Gültigkeit der Ungleichung unklar.
Es wäre schön, wenn mir jemand etwas auf die Sprünge Helfen könnte.
Schöne Grüße, Lars
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Mo 03.01.2005 | | Autor: | moudi |
Geht es hier wirklich um Folgen [mm](a_n)[/mm] und nicht um Reihen [mm]\sum_{n=1}^\infty a_n[/mm]?
Ich kenne das Wurzel- und das Quotientenkriterium nur für Reihen, und auch die konsultierten Bücher, etwa das "Taschenbuch der Mathematik" (Bronstein/Semendjajew), kenne es nur für Reihen.
mfG Moudi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:48 Di 04.01.2005 | | Autor: | Matrix |
Hi Moudi,
Die Aufgabe lautete tatsächlich "Erfüllt die Folge [mm] (a_n) [/mm] das Quotientenkriterium". Das ist in der tat etwas komisch formuliert. Was gemeint ist, ist dass für eine Folge [mm] (a_n) [/mm] gilt:
[mm]
\limes_{n \to \infty} \frac{ \mid a_{n+1} \mid}{ \mid a_n \mid} =: q
[/mm]
Der Grenzwert q existiert und ist kleiner 1.
Ich bin auch darüber gestolpert und zu dem Ergebnis gekommen, dass nur das Gemeint sein kann. Mit der Folge ist in diesem Fall also die Folge gemeint, die ins unendliche aufsummiert die Reihe ergibt, für welche die Konvergenz geprüft werden soll:
[mm]
\sum_{i=0}^{\infty}a_n
[/mm]
Ich habe mittlerweile die Lösung zu dem Problem , die ist eigentlich relativ einfach ( Wenn man sie denn erstmal vor sich hat :)). Was ich im Internet gefunden hatte war falsch, deshalb konnte man es auch nicht verstehen.
Lösung:
Es gilt nach der Voraussetzung, dass das Quotientenkriterium erfüllt ist:
[mm]
\limes_{n \to \infty} \frac{ \mid a_{n+1} \mid}{ \mid a_n \mid} =: q
[/mm]
Der Grenzwert q existiert und ist kleiner 1.
Folglich gibt es ein [mm] q_1 [/mm] mit q < [mm] q_1 [/mm] < 1, so dass ab einem gewissen Folgeglied N der Folge
[mm]
(b_n) :=\left(\frac{ \mid a_{n+1} \mid}{ \mid a_n \mid}\right)
[/mm]
jedes Folgeglied n > N kleiner ist als [mm] q_1.
[/mm]
Lassen wir die Folge [mm] (b_n) [/mm] jetzt nur bis zu einem endlichen Folgeglied
N+k-1 laufen:
[mm]
\frac{ \mid a_1 \mid}{ \mid a_0 \mid},\frac{ \mid a_2 \mid}{ \mid a_1\mid},\dots,\frac{ \mid a_{N+1} \mid}{ \mid a_N \mid},\frac{ \mid a_{N+2} \mid}{ \mid a_{N+1} \mid},\dots,\frac{ \mid a_{N+k} \mid}{ \mid a_{N+k-1} \mid}
[/mm]
Hier sind alle Folgeglieder von N bis N+k-1 kleiner als [mm] q_1, [/mm] also:
[mm]
\frac{ \mid a_{N+1} \mid}{ \mid a_N \mid} < q_1
[/mm]
[mm]
\frac{ \mid a_{N+2} \mid}{ \mid a_{N+1} \mid} < q_1
[/mm]
[mm]
\dots
[/mm]
[mm]
\frac{ \mid a_{N+k} \mid}{ \mid a_{N+k-1} \mid} < q_1
[/mm]
Daraus folgt:
[mm]
\frac{ \mid a_{N+1} \mid}{ \mid a_N \mid} \cdot \ \frac{ \mid a_{N+2} \mid}{ \mid a_{N+1} \mid}\cdot \ \dots \cdot \ \frac{ \mid a_{N+k} \mid}{ \mid a_{N+k-1} \mid} = \frac{ \mid a_{N+k} \mid}{ \mid a_N \mid} < q_1^k
[/mm]
Somit gilt:
[mm]
\frac{\sqrt[k]{ \mid a_{N+k} \mid}}{ \sqrt[k]{\mid a_N \mid}} < q_1
[/mm]
Umstellen:
[mm]
\sqrt[k]{ \mid a_{N+k} \mid} < q_1 \cdot \sqrt[k]{\mid a_N \mid}
[/mm]
Wir bilden das Supremum:
[mm]
sup{\sqrt[k]{ \mid a_{N+k} \mid}} < q_1 \cdot \sqrt[k]{\mid a_N \mid}
[/mm]
und bilden anschließend den Limes für k geht gegen Unendlich, wobei gilt n:= N+k, so dass wir für [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}[/mm] auch schreiben können [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}[/mm]. Da gilt:
[mm]
\limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\mid a_N \mid} = 1
[/mm]
ergibt sich:
[mm]
\limes_{n\rightarrow\infty}sup{\sqrt[n]{ \mid a_{n} \mid}} < q_1
[/mm]
Da [mm] q_1 [/mm] < 1 nach Voraussetzung folgt Konvergenz nach dem Wurzelkriterium. q.e.d.
Schöne Grüße, Lars
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