Quotientenkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] \summe_{n=5}^{\infty}3^{-n} \bruch{x^{2n-2}}{n^2+1} [/mm] |
Werte Kollegen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Bei Ermittlung von Konvergenzradien von Potenzreihen stellt sich ja oft das Problem, dass [mm] a^n [/mm] und [mm] x^n [/mm] nicht klar getrennt sind zB. : [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{2^{-n}}{x+n^2}*x^n [/mm] . Ist es zulässig, alle Faktoren die nicht x enthalten "vorzuziehen" und somit die Bestimmung des Konvergenzradius durch das Quotientenkriterium zu ermöglichen?
Beim ersten Bsp. käme ich dann auf [mm] a^n=\bruch{3^{-n}}{n^{2+1}}, [/mm] und würde den Limes dann Mittels de l'Hopital ausrechnen.
Beim zweiten Bsp. käme ich auf [mm] \bruch{2^{-n}}{n^2}.
[/mm]
Bitte sagt mir ob mein Vorgehen zulässig ist, und wenn nicht dann offenbart bitte eure Methoden um [mm] a^n [/mm] von [mm] x^n [/mm] zu trennen.
Vielen Dank,
Manuel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:07 Mi 12.12.2007 | | Autor: | Mathechef |
Ups, ich weiß es doch nicht...haha!!
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Hallo Manuel,
versuche mal Folgendes:
Schreibe zunächst deine erste Reihe etwas um:
[mm] $\summe_{n=5}^{\infty}3^{-n} \bruch{x^{2n-2}}{n^2+1}=\summe_{n=5}^{\infty} \bruch{1}{3^n\left(n^2+1\right)}\cdot{}\left(x^2\right)^{n-1}$
[/mm]
Nun würde ich eine Indexverschiebeung machen, damit in der Reihe [mm] $\left(x^2\right)^n$ [/mm] steht
[mm] $...=\summe_{n=4}^{\infty} \bruch{1}{3^{n+1}\left((n+1)^2+1\right)}\cdot{}\underbrace{\left(x^2\right)^n}_{=z^n}$
[/mm]
Nun kannst du mit dem Eulerkriterium ansetzen:
Berechne [mm] $r=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$
[/mm]
Dann ist der Konvergenzradius der Reihe [mm] $R=\frac{1}{r}$ [/mm] und die Reihe konvergiert für [mm] $|z|=|x^{\red{2}}|=|x|^2R$
[/mm]
Für [mm] $|x|^2=R$ [/mm] musst du's gesondert prüfen
Die zweite Reihe aus dem Bsp. ist keine Potenzreihe, als Potenzreihe bezeichnet man Reihen der Form [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\cdot{}(x-x_0)^n$
[/mm]
Und ich sehe nicht, dass man die komische Reihe aus dem Bsp. in diese Form bringen kann 
LG
schachuzipus
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