Quotientenkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi, ich weiß nicht, wie ich bei dieser Aufgabe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2^{k+1}}{k!}*x^{k}
[/mm]
anfangen soll. Da in der Aufgabe ein Fakultät steht, denke ich, dass man hier das Quotientenkriterium anwenden muss. Ich habe aber keine Ahnung wie.
Vielleicht so..?
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{2^{(n+1)+1}}{(n+1)!}*x^{n+1}
[/mm]
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{ \bruch{2^{(n+1)+1}}{(n+1)!}*x^{n+1}
}{ \bruch{2^{(n+1)}}{n!}*x^{n}
} [/mm]
Weiter weiß ich nicht
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:08 Mo 14.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] a_k= \bruch{2^{k+1}}{k!}\cdot{}x^{k} [/mm]
Berechne nun
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{a_{k+1}}{a_k}|
[/mm]
FRED
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Aber das habe ich doch versucht.
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2^{k+1}}{k!}\cdot{}x^{k}
[/mm]
da [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n+1}}{a_n}| [/mm] ist meine Rechnung
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{ \bruch{2^{(n+1)+1}}{(n+1)!}\cdot{}x^{n+1} }{ \bruch{2^{(n+1)}}{n!}\cdot{}x^{n} }
[/mm]
umgeschrieben
[mm] \bruch{2^{(n+2)}*x^{n+1}*n!}{(n+1)!*2^{n+1}*x^{n}}
[/mm]
umgeformt und gekürzt erhalte ich [mm] \bruch{2x}{n+1}
[/mm]
ob das richtig ist, weiß ich jedoch nicht
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Hallo Mikka,
> Aber das habe ich doch versucht.
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2^{k+1}}{k!}\cdot{}x^{k}[/mm]
>
> da [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n+1}}{a_n}|[/mm] ist
> meine Rechnung
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{ \bruch{2^{(n+1)+1}}{(n+1)!}\cdot{}x^{n+1} }{ \bruch{2^{(n+1)}}{n!}\cdot{}x^{n} }[/mm]
>
> umgeschrieben
>
> [mm]\bruch{2^{(n+2)}*x^{n+1}*n!}{(n+1)!*2^{n+1}*x^{n}}[/mm]
>
> umgeformt und gekürzt erhalte ich [mm]\bruch{2x}{n+1}[/mm]
>
> ob das richtig ist, weiß ich jedoch nicht
Das ist richtig. Wenn nun n gegen unendlich geht, kommt 0 raus, da x während dieser Betrachtung konstant ist. Was bedeutet das?
Grüße,
Stefan
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Dann müsste doch 0 herauskommen
[mm] \bruch{2x}{n+1}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{\infty}*2x [/mm] da [mm] \bruch{1}{\infty}=0
[/mm]
0*2x=0
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Hallo Mikka,
> Dann müsste doch 0 herauskommen
>
> [mm]\bruch{2x}{n+1}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{\infty}*2x[/mm] da [mm]\bruch{1}{\infty}=0[/mm]
>
> 0*2x=0
Ja, das ist richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , hatte ich aber oben schon erwähnt.
Meine Frage war nun: Was bedeutet das? Für welche x ist die Reihe also (absolut) konvergent, und für welche nicht?
Grüße,
Stefan
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??
Ich würde jetzt einfach 0<1 schreiben und damit ist die absolute Konvergenz bewiesen
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Hallo Mikka,
> ??
> Ich würde jetzt einfach 0<1 schreiben und damit ist die
> absolute Konvergenz bewiesen
Ja, das ist richtig.
Ich wollte darauf hinaus, dass die Reihe also für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] konvergiert, meist ist das in solchen Aufgabenstellungen gefragt.
Grüße,
Stefan
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