Quotientenkriterium < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
sitzte gerade über alten Klausuraufgaben und hänge wieder mal bei einer fest.
Gegeben sei die Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n [/mm] * [mm] n^{-3+(-1)^{n}}
[/mm]
Die Frage dazu lautet: Begründen Sie warum hier das Quotientenkriterium nicht anwendbar ist.
Welche Voraussetzungen muß eigentlich eine Reihe mitbringen, damit das Quotientenkriterium anwendbar ist?
Gruß
Professor
|
|
| |
|
Hallo!
Im Prinzip kannst du das Quotientenkriterium auf jede Reihe anwenden. Aber oft sind die Voraussetzungen nicht gegeben. Die Aussage ist:
Falls [mm] $\limsup \left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right|<1$ [/mm] konvergiert die Reihe absolut.
Falls [mm] $\liminf \left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right|>1$ [/mm] divergiert die Reihe.
In deinem Fall besteht [mm] $\left(\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right|\right)$ [/mm] aus zwei Teilfolgen:
1. [mm] $\left|\bruch{(n+1)^{-4}}{n^{-2}}\right|\to [/mm] 0$
2. [mm] $\left|\bruch{(n+1)^{-2}}{n^{-4}}\right|\to \infty$
[/mm]
Also ist [mm] $\limsup \left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right|=\infty$. [/mm] Und [mm] $\liminf \left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right|=0$. [/mm] Deshalb kann man das Kriterium nicht anwenden, weil weder [mm] $\liminf>1$ [/mm] noch [mm] $\limsup<1$.
[/mm]
Gruß, banachella
|
|
|
|
