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Forum "Folgen und Reihen" - Quotientenkriterium - Bsp
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Quotientenkriterium - Bsp: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:44 Do 21.03.2013
Autor: Paivren

Mahlzeit,

kann mir wer sagen, ob das so richtig ist?
Ich soll mit dem Quotientenkriterium zeigen, für welche reelle x die Reihe konvergiert.

[mm] \summe_{n-1}^{\infty}nx^{n} [/mm]

Quotientenkriterium:
[mm] \bruch{|(n+1)x^{n+1}|}{|nx^{n}|} [/mm] = [mm] \bruch{|(n+1)x|}{|n|} [/mm] > 1 [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN, [/mm] wenn [mm] |x|\ge [/mm] 1

Reihe divergiert also für jene x.

Sei |x| < 1.
[mm] \bruch{|(n+1)x|}{|n|} [/mm] = [mm] \bruch{|nx+x|}{|n|} \le \bruch{|nx|}{n} [/mm] + [mm] \bruch{|x|}{n} [/mm] = |x| + [mm] \bruch{|x|}{n} [/mm]

Sei 0<q<1.
[mm] \bruch{|x|}{n} [/mm] ist Nullfolge und damit <q für fast alle n.
Da |x|<1 und da [mm] \bruch{|x|}{n} [/mm] beliebig klein wird, gibt es zu jedem x mit |x|<1 ein q mit |x| + [mm] \bruch{|x|}{n}
Also konvergiert die Reihe für alle x mit |x|< 1.


Ist die Argumentation richtig, bzw würde man dafür Punkte bekommen?

Gruß

        
Bezug
Quotientenkriterium - Bsp: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:16 Do 21.03.2013
Autor: schachuzipus

Hallo Paivren,


> Mahlzeit,
>
> kann mir wer sagen, ob das so richtig ist?
>  Ich soll mit dem Quotientenkriterium zeigen, für welche
> reelle x die Reihe konvergiert.
>  
> [mm]\summe_{n-1}^{\infty}nx^{n}[/mm]
>  
> Quotientenkriterium:
>  [mm]\bruch{|(n+1)x^{n+1}|}{|nx^{n}|}[/mm] = [mm]\bruch{|(n+1)x|}{|n|}[/mm] >  1 [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN,[/mm] wenn [mm]|x|\ge[/mm] 1
>  
> Reihe divergiert also für jene x. [ok]
>  
> Sei |x| < 1.
>  [mm]\bruch{|(n+1)x|}{|n|}[/mm] = [mm]\bruch{|nx+x|}{|n|} \le \bruch{|nx|}{n}[/mm]  + [mm]\bruch{|x|}{n}[/mm] = |x| + [mm]\bruch{|x|}{n}[/mm] [ok]
>  
> Sei 0<q<1.
>  [mm]\bruch{|x|}{n}[/mm] ist Nullfolge und damit ><q für="" fast="" alle="" <br=""> n.

Das ist kein Satz?!

>  Da |x|<1 und da [mm]\bruch{|x|}{n}[/mm] beliebig klein wird, gibt
> es zu jedem x mit |x|<1 ein q mit |x| + [mm]\bruch{|x|}{n}
> für fast alle n.
>  
> Also konvergiert die Reihe für alle x mit |x|< 1. [ok]
>  
>
> Ist die Argumentation richtig, bzw würde man dafür Punkte
> bekommen?

Jo, aber etwas umständlich.

Einfacher: [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{(n+1)x^{n+1}}{nx^n}\right|=|x|\cdot{}\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}=|x|[/mm]

Und gem. QK sollte das für Konvergenz [mm]<1[/mm] sein.

Also hast du Kgz. für [mm]|x|<1[/mm]

>  
> Gruß

LG

schachuzipus

>  

</q></q<1.

Bezug
                
Bezug
Quotientenkriterium - Bsp: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:35 Do 21.03.2013
Autor: Paivren

Hallo Schachuzipus,

ok, du hast einen Einzeiler draus gemacht, bin aber froh, dass meine Argumentation inhaltlich korrekt ist.
Vielen Dank für deine Antwort!

Gruß
Bezug
        
Bezug
Quotientenkriterium - Bsp: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:25 Sa 23.03.2013
Autor: Helbig


> Mahlzeit,
>
> kann mir wer sagen, ob das so richtig ist?
>  Ich soll mit dem Quotientenkriterium zeigen, für welche
> reelle x die Reihe konvergiert.
>  
> [mm]\summe_{n-1}^{\infty}nx^{n}[/mm]
>  
> Quotientenkriterium:
>  [mm]\bruch{|(n+1)x^{n+1}|}{|nx^{n}|}[/mm] = [mm]\bruch{|(n+1)x|}{|n|}[/mm] >

> 1 [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN,[/mm] wenn [mm]|x|\ge[/mm] 1
>  
> Reihe divergiert also für jene x.
>  
> Sei |x| < 1.
>  [mm]\bruch{|(n+1)x|}{|n|}[/mm] = [mm]\bruch{|nx+x|}{|n|} \le \bruch{|nx|}{n}[/mm]
> + [mm]\bruch{|x|}{n}[/mm] = |x| + [mm]\bruch{|x|}{n}[/mm]
>  
> Sei 0<q<1.
>  [mm]\bruch{|x|}{n}[/mm] ist Nullfolge und damit <q für fast alle n.

Die letzten beiden Zeilen sind völlig überflüssig. Lasse sie lieber weg! Deine Lösung wird schwer verständlich, weil Du unten nochmal die Variable q einführst, diesmal allerdings als Teil eines korrekten Arguments.

Grüße,
Wolfgang

>  Da |x|<1 und da [mm]\bruch{|x|}{n}[/mm] beliebig klein wird, gibt
> es zu jedem x mit |x|<1 ein q mit |x| + [mm]\bruch{|x|}{n}
> für fast alle n.
>  
> Also konvergiert die Reihe für alle x mit |x|< 1.
>  
>
> Ist die Argumentation richtig, bzw würde man dafür Punkte
> bekommen?
>  
> Gruß
>  

Bezug
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